Baccalauréat S Asie 20 juin 2019 - Correction Exercice 2
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Correction de l'exercice 2 (4 points)
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Il est attribué un point si la lettre correspond à l'affirmation exacte, 0 sinon.
Dans tout l'exercice, on se place dans un repère orthonormé (O, →i, →j, →k) de l'espace.
Les quatre questions sont indépendantes.
Aucune justification n'est demandée.
- On considère le plan P d' équation cartésienne 3x+2y+9z−5=0 et la droite d dont une représentation paramétrique est: {x=4t+3y=−t+2z=−t+9,t∈R.
- l'intersection du plan P et de la droite d est réduite au point de coordonnées (3 ; 2 ; 9).
- le plan P et la droite d sont orthogonaux.
- le plan P et la droite d sont parallèles.
- l'intersection du plan P et de la droite d est réduite au point de coordonnées (−353 ; 91 ; 98).
-
On constate que les coordonnées fournies dans l’affirmation A ne vérifie par l’équation cartésienne du plan P .
Les vecteur →n(3;2;9), normal au plan p, et →u(4;−1;−1), vecteur directeur de la droite d, ne sont ni orthogonaux (produit scalaire non nul) ni colinéaires. Les affirmations B et C sont donc fausse.
3×(−353)+2×91+9×98−5=0. Le point A(−353;91;98) appartient au plan p.
En prenant t=−89 (il suffit de résoudre l’équation −t+9=98) on constate que le point A appartient également à la droite d. Affirmation d vraie - On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et les points I, J et K définis par les égalités vectorielles :
→AI=34→AB, →DJ=14→DC et →HK=34→HG
- la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un triangle.
- la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un quadrilatère.
- la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un pentagone.
- la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un hexagone.
On obtient la figure suivante : - On considère la droite d dont une représentation paramétrique est {x=t+2y=2z=5t−6 , avec t∈R, et le point A(−2 ; 1 ; 0). Soit M un point variable de la droite d.
- la plus petite longueur AM est égale à √53 .
- la plus petite longueur AM est égale à √27.
- la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées (−2 ; 1 ; 0).
- la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées (2 ; 2 ; −6).
On a : - On considère le plan P d'équation cartésienne x+2y−3z+1=0 et le plan P′ d'équation cartésienne 2x−y+2=0.
- les plans P et P′ sont parallèles.
- l'intersection des plans P et P′ est une droite passant par les points A(5 ; 12 ; 10) et B (3 ; 1 ; 2).
- l'intersection des plans P et P′ est une droite passant par le point C(2 ; 6 ; 5) et dont un vecteur directeur est →u(1 ; 2 ; 2).
- l'intersection des plans P et P′ est une droite passant par le point D(−1 ; 0 ; 0) et dont un vecteur directeur est →v(3 ; 6 ; 5).
-
→n(1;2;−3) est un vecteur normal au plan p et →n′(2;−1;0) est un vecteur normal au plan P.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Affirmation a fausse.
Le point B ne vérifie pas l’équation cartésienne du plan p′. Affirmation b fausse.
→n.→u=−1≠0. Aucune droite de vecteur directeur →u n’est incluse dans le plan P.
→n.→u=0 et →n′.→u=0. De plus les coordonnées du point D vérifient les deux équations cartésiennes. Affirmation d vraie

Affirmation c vraie
AM2=(t+2+2)2+(2−1)2+(5t−6)2=(t+4)2+1+(5t−6)2=t2+8t+16+1+25t2−60t+36=26t2−52t+53
a=26>0 : le polynôme du second degré atteint donc son minimum pour t=−−522×26=1.
Ce minimum vaut 27.
Ainsi la plus petite longueur AM est égale à √27.
Affirmation b vraie
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