Baccalauréat S Asie 20 juin 2019 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Il est attribué un point si la lettre correspond à l'affirmation exacte, $0$ sinon.
Dans tout l'exercice, on se place dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ de l'espace.
Les quatre questions sont indépendantes.
Aucune justification n'est demandée.

1. On considère le plan P d' équation cartésienne $3x + 2 y + 9 z - 5 = 0$ et la droite $d$ dont une représentation paramétrique est: $\left\{\begin{array}{l c l} x &= &4t+3\\ y& =& - t + 2 \\z&=& -t+9 \end{array}\right. , t \in \mathbb R$.
   
   1. l'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(3~;~2~;~9)$.
   2. le plan $P$ et la droite $d$ sont orthogonaux.
   3. le plan $P$ et la droite $d$ sont parallèles.
   4. l'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(-353~;~91~;~98)$.
   On constate que les coordonnées fournies dans l’affirmation A ne vérifie par l’équation cartésienne du plan P .
   Les vecteur $\vec{n}(3;2;9)$, normal au plan $p$, et $\vec{u}(4;-1;-1)$, vecteur directeur de la droite $d$, ne sont ni orthogonaux (produit scalaire non nul) ni colinéaires. Les affirmations B et C sont donc fausse.
   
   $3\times (-353)+2\times 91+9\times 98-5=0$. Le point $A(-353;91;98)$ appartient au plan $p$.
   En prenant $t=-89$ (il suffit de résoudre l’équation $-t+9=98$) on constate que le point $A$ appartient également à la droite $d$.
Affirmation d vraie
$\quad$
2. On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et les points I, J et K définis par les égalités vectorielles :
   $\vec{AI}=\dfrac{3}{4}\vec{AB}$, $\vec{DJ}=\dfrac{1}{4}\vec{DC}$ et $\vec{HK}=\dfrac{3}{4}\vec{HG}$
   
   
   1. la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un triangle.
   2. la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un quadrilatère.
   3. la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un pentagone.
   4. la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un hexagone.
On obtient la figure suivante :

Affirmation c vraie
$\quad$
3. On considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t + 2\\y &=& 2\\z&=&5t - 6 \end{array}\right.$ , avec $t \in \mathbb R$, et le point A$( - 2~;~1~;~0)$. Soit $M$ un point variable de la droite $d$.
   
   1. la plus petite longueur A$M$ est égale à $\sqrt{53}$ .
   2. la plus petite longueur A$M$ est égale à $\sqrt{27}$.
   3. la plus petite longueur A$M$ est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées $(-2~;~1~;~0)$.
   4. la plus petite longueur A$M$ est atteinte lorsque le point $M$ a pour coordonnées $(2~;~2~;~-6)$.
On a :
$\begin{align*} AM^2&=(t+2+2)^2+(2-1)^2+(5t-6)^2 \\
&=(t+4)^2+1+(5t-6)^2\\
&=t^2+8t+16+1+25t^2-60t+36\\
&=26t^2-52t+53\end{align*}$
$a=26>0$ : le polynôme du second degré atteint donc son minimum pour $t=-\dfrac{-52}{2\times 26}=1$.
Ce minimum vaut $27$.
Ainsi la plus petite longueur $AM$ est égale à $\sqrt{27}$.
Affirmation b vraie
$\quad$
4. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne $x+2y-3z+1=0$ et le plan $P'$ d'équation cartésienne $2x - y + 2 = 0$.
   
   1. les plans $P$ et $P'$ sont parallèles.
   2. l'intersection des plans $P$ et $P'$ est une droite passant par les points A$(5~;~12~;~10)$ et B $(3~;~1~;~2)$.
   3. l'intersection des plans $P$ et $P'$ est une droite passant par le point C$(2~;~6~;~5)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}(1~;~2~;~2)$.
   4. l'intersection des plans $P$ et $P'$ est une droite passant par le point D$(-1~;~0~;~0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{v}(3~;~6~;~5)$.
   $\vec{n}(1;2;-3)$ est un vecteur normal au plan $p$ et $\vec{n’}(2;-1;0)$ est un vecteur normal au plan P.
   Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Affirmation a fausse.
   
   Le point $B$ ne vérifie pas l’équation cartésienne du plan $p’$. Affirmation b fausse.
   
   $\vec{n}.\vec{u}=-1\neq 0$. Aucune droite de vecteur directeur $\vec{u}$ n’est incluse dans le plan P.
   $\vec{n}.\vec{u}=0$ et $\vec{n’}.\vec{u}=0$. De plus les coordonnées du point $D$ vérifient les deux équations cartésiennes.
Affirmation d vraie
$\quad$