Baccalauréat S Asie 20 juin 2019 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $(E)$ à l'inconnue $z$ : \[z^3 + \left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) z^2 + \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right) z + 8\text{i} = 0\quad (E). \]
   1. Montrer que le nombre $-2\text{i}$ est une solution de l'équation $(E)$.
   $\begin{align*} &(-2\text{i})^3+\left(-2\sqrt{3}+2\text{i}\right)\times (-2\text{i})^2+\left(4-4\text{i}\sqrt{3}\right)\times (-2\text{i})+8\text{i}\\
   =& 8\text{i} -4\left(-2\sqrt{3}+2\text{i}\right)-\left(8\text{i}+8\sqrt{3}\right)+8\text{i}\\
   =& 8\text{i}+8\sqrt{3}-8\text{i}-8\text{i}-8\sqrt{3}+8\text{i}\\
   =& 0\end{align*}$
   $-2\text{i}$ est donc une solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   
   2. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$, on a : \[z^3 + \left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) z^2 + \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right) z + 8\text{i} = (z + 2i)\left(z^2 - 2\sqrt{3} z + 4\right).\]
   On a :
   $\begin{align*}& (z+2\text{i})\left(z^2-2\sqrt{3}z+4\right)\\
   =& z^3-2\sqrt{3}z^2+4z+2\text{i} z^2-4\text{i}\sqrt{3}z+8\text{i} \\
   =& z^3+\left(2\text{i}-2\sqrt{3}\right)z^2+\left(4-4\text{i}\sqrt{3}\right)z+8\text{i}\end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes.
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $(E)\iff z+2\text{i}=0$ ou $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$
   $z+2\text{i} =0\iff z=-2\text{i}$
   On considère maintenant l’équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$
   $\Delta=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\times 1\times 4=-4<0$
   Les solutions de cette équation sont donc :
   $z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2\text{i}}{2}=\sqrt{3}-\text{i}$ et $z_2=\overline{z_1}=\sqrt{3}+\text{i}$
   Ainsi les solutions de l’équation $(E)$ sont $-2\text{i}$, $\sqrt{3}+\text{i}$ et $\sqrt{3}-\text{i}$.
   $\quad$
   
   4. Écrire les solutions de l'équation $(E)$ sous forme exponentielle.
   $-2\text{i}=2\text{e}^{-\text{i}\pi/2}$
   $\left|\sqrt{3}+\text{i}\right|=2$ donc $\sqrt{3}+\text{i}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}\right)=2\text{e}^{\text{i}\pi/6}$
   et $\sqrt{3}-\text{i}=2\text{e}^{-\text{i}\pi/6}$
   $\quad$

Dans la suite, on se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$.

1. On considère les points A, B, C d'affixes respectives $-2i$, $\sqrt{3} + \text{i}$ et $\sqrt{3} - \text{i}$.
   1. Montrer que A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.
   Les trois nombres complexes sont tous de module $2$.
   Par conséquent $OA=OB=OC=2$.
   Les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent donc au cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
   $\quad$
   
   2. Placer ces points sur une figure que l'on complètera par la suite.
   Voir figure en fin d’exercice
   $\quad$
   
   3. On note D le milieu du segment [OB]. Déterminer l'affixe $z_{\text{L}}$ du point L tel que AODL soit un parallélogramme.
   $D$ est le milieu du segment $[OB]$.
   Ainsi $z_D=\dfrac{z_O+z_B}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}$.
   $\quad$
   $AODL$ est un parallélogramme
   $\iff \vec{AL}=\vec{OD}$
   $\iff z_L-z_A=z_D-z_O$
   $\iff z_L=z_D+z_A$
   $\iff z_L=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}-2\text{i}$
   $\iff z_L=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\text{i}}{2}$
   $\quad$
2. On rappelle que, dans un repère orthonormé du plan, deux vecteurs de coordonnées respectives $(x~;~y)$ et $(x'~;~y')$ sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy' = 0$.
   1. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan, d'affixes respectives $z$ et $z'$. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $z \overline{z'}$ est un imaginaire pur.
   On note $z=x+\text{i} y$ et $z’=x’+\text{i} y’$.
   Ainsi
   $\begin{align*} z\overline{z’}&=(x+\text{i} y)\left(x’-\text{i} y’\right)\\
   &=xx’-\text{i} xy’+\text{i} yx’+yy’ \\
   &=xx’+yy’+(x’y-xy’)\text{i}\end{align*}$
   Par conséquent :
   $z\overline{z’}$ est un imaginaire pur
   $\iff xx’+yy’=0$
   $\iff \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
   $\quad$
   
   2. À l'aide de la question 3. a. , démontrer que le triangle AOL est rectangle en L.
   L’affixe du vecteur $\vec{OL}$ est $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\text{i}}{2}$
   L’affixe du vecteur $\vec{AL}$ est $z’=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\text{i}}{2}+2\text{i}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\text{i}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} z\overline{z’}&=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\text{i}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\text{i}}{2}\right) \\
   &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{3}\text{i}}{4}-\dfrac{3\text{i}\sqrt{3}}{4}-\dfrac{3}{4} \\
   &=-\text{i}\sqrt{3}\end{align*}$
   $z\overline{z’}$ est donc un imaginaire pur. Les vecteurs $\vec{OL}$ et $\vec{AL}$ sont donc orthogonaux et le triangle $AOL$ est rectangle en $L$.
   $\quad$