Baccalauréat S Asie 20 juin 2019 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $r$ l'ensemble des matrices colonnes à 2 lignes, à coefficients entiers. Soit $U = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ et $V = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ deux éléments de $r$.
À $U$ et $V$, on associe la matrice $A = \begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}$ et le nombre $d(A) = u_1 v_2 - u_2v_1$.
On dit que $(U,~V)$ est une base de $r$ si et seulement si, pour tout élément $X$ de $r$, il existe un unique couple d'entiers relatifs $(a~;~b)$ tel que $X = aU + bV$.

1. Dans cette question, on pose $U = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, \:$V = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$
   1. Montrer que $X$ ne peut pas s'écrire $X = a U + b V$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
   On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$.
   $aU+BV=\begin{pmatrix}2a+b\\a+2b\end{pmatrix}$
   Ainsi :
   $\begin{align*} X=aU+bV&\iff \begin{cases} 2a+b=10\\a+2b=10\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} b=10-2a\\a+2(10-2a)=10\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} b=10-2a\\-3a+20=10\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} b=10-2a\\-3a=-10\end{cases}\end{align*}$
   $10$ n’est pas divisible par $3$ donc l’équation $-3a=-10$ ne possède pas de solution dans $\mathbb Z$.
   $X$ ne peut donc pas s’écrire sous la forme $X=aU+bV$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
   $\quad$
   
   2. Le couple $(U,~ V)$ est-il une base de $r$ ?
   $X=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$ ne peut pas s’écrire sous la forme $aU+bV$.
   Par conséquent $(U,V)$ n’est pas une base de $r$.
   $\quad$

Dans la suite de l'exercice, on souhaite illustrer sur un exemple la propriété : « si $d(A) = 1$, alors $(U, V)$ est une base de $r$ » .

1. En posant $U = \begin{pmatrix}6\\- 11\end{pmatrix}$ le but de cette question est de déterminer $V \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ tel que $d(A) = 1$. On rappelle dans ce cas que la matrice $A$ associée au couple $(U,~ V)$ s'écrit : $A = \begin{pmatrix}6&v_1\\- 11&v_2\end{pmatrix}$.
   1. Exprimer la condition $d(A) = 1$ par une égalité reliant $v_1$ et $v_2$.
   $d(A)=1\iff 6v_2+11v_1=1$
   $\quad$
   
   2. On considère l'équation $(E) :\: 11 x + 6 y = l$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Donner une solution particulière de l'équation $(E)$.
   $11\times (-1)+6\times 2=-11+12=1$
   Le couple $(-1;2)$ est donc une solution particulière de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   
   3. Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des entiers relatifs.
   On considère une solution $(x;y)$ de l’équation $(E)$.
   On a donc $11\times (-1)+6\times 2=1$ et $11x+6y=1$.
   Par différence, on obtient $11(-1-x)+6(2-y)=0 \iff 6(2-y)=11(1+x)$.
   $6$ et $11$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $2-y=11k$ et $1+x=6k$.
   Par conséquent $x=6k-1$ et $y=2-11k$.
   $\quad$
   Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
   $11(6k-1)+6(2-11k)=66k-11+12-66k=1$
   $\quad$
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(6k-1;2-11k)$ pour $k\in\mathbb Z$.
   $\quad$
   
   4. Déterminer alors une matrice $V \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ de $r$ vérifiant d'une part l'égalité $d(A) = 1$ et, d' autre part, la condition $0 \leqslant v_1 \leqslant 10$.
   D’après la question précédente, il existe un entier relatif $k$ tel que $v_1=6k-1$ et $v_2=2-11k$.
   De plus :
   $0\leq v_1\leq 10\iff 0\leq 6k-1\leq 10 \iff 1\leq 6k \leq 9 \iff \dfrac{1}{6} \leq k\leq \dfrac{3}{2} \iff k=1$.
   Ainsi $v_1=5$ et $v_2=-9$
   Par conséquent $V=\begin{pmatrix} 5\\-9\end{pmatrix}$.
   $\quad$
2. Dans cette question, on pose $U = \begin{pmatrix}6\\- 11\end{pmatrix}$ et $V = \begin{pmatrix}5\\- 9\end{pmatrix}$. Ainsi $A = \begin{pmatrix}6&5\\- 11&-9\end{pmatrix}$.
   1. Montrer que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
   On considère les matrices $A=\begin{pmatrix}6&5\\-11&-9\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$
   $\begin{align*}AB&=\begin{pmatrix}-9\times 6+5\times 11&6\times (-5)+5\times 6\\-11\times (-9)+-9\times 11&-11\times (-5)+6\times (-9)\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\end{align*}$
   On obtient de même $BA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
   La matrice $A$ est donc inversible et $A^{-1}=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. Soit $X$ un élément de $r$. Montrer que l'égalité $X = aU + b V$ s'écrit matriciellement $X = A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
   Soit $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un élément de $r$.
   $\begin{align*} X=aU+bV&\iff \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}5\\-9\end{pmatrix} \\
   &\iff \begin{cases}x=6a+5b\\y=-11a-9b\end{cases} \\
   &\iff X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Déduire des questions précédentes qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs $(a~;~b)$ tel que $X = aU +bV$, c'est-à-dire tel que $(U,~ V)$ est une base de $r$.
   $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\iff \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}X$.
   Ainsi pour une matrice $X$ de $r$ donnée il existe une unique matrice $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ telle que $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   4. Déterminer ce couple $(a~;~b)$ lorsque $X = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
   Si $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ alors :
   $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\iff \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\iff \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-33\\40\end{pmatrix}$
   $\quad$