Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE Mars 2014 2013 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Suites

L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. Il peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité. On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant $10^6$ noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3 $ \, \%$. On note $u_{n}$ le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de $n$ jours. On a donc $u_{0} = 10^6$.

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1. Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$.
3. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
4. Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié. Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131.
5. On considère l'algorithme suivant: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1 &\text{Variables :}& n \text{ et } u \text{ sont des nombres }\\ 2 &\text{Initialisation :}& \text{ Affecter la valeur } 0 \text{ à } n\\ 3 & & \text{Affecter la valeur } 10^6 \text{ à } u\\ 4 &\text{Traitement :}& \text{ Tant que }u > \dfrac{10^6}{2} \\ 5 & &\hspace{5mm}n \text{ prend la valeur } n + 1\\ 6 & &\hspace{5mm}u \text{ prend la valeur } u \times 0,917\\ 7 & &\text{ Fin tant que }\\ 8 &\text{Sortie :} &\text{ Afficher } n\\ \hline \end{array}$$
   1. À quoi correspond la valeur $n$ en sortie de cet algorithme ?
   2. Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ?
   3. Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3 $\,\%$. Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de $10^8$noyaux ?