Baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013 - Correction de l'Exercice 2

Page 4 sur 11: Correction de l'Exercice 2

Exercice 2 : 4 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. Soit $z_1 = \sqrt{6} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}$. La forme exponentielle de $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2}$ est :
   
   1. $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{19\pi}{12}}$
   2. $\sqrt{12} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{12}}$
   3. $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{7\pi}{12}}$
   4. $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{13\pi}{12}}$
$\text{i} \dfrac{z_1}{z_2} $ $=\text{e}^{\text{i}\pi/2}\dfrac{\sqrt{6}\text{e}^{\text{i}\pi/4}}{\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\pi/3}}$ $=\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}(\pi/2+\pi/4+\pi/3)}$ $=\sqrt{3}\text{e}^{13\text{i}\pi/12}$
Réponse d
$~$
2. L'équation $- z = \overline z$, d'inconnue complexe $z$, admet :
   1. une solution
   2. deux solutions
   3. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
   4. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
On pose $z=x+iy$
$$-z=\bar{z} \Leftrightarrow -x-\text{i}y = x – iy \Leftrightarrow x = 0$$
Réponse c
$~$
3. Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1 ; 2 ; 3)$, $B(-1 ; 5 ; 4)$ et $C(-1 ; 0 ; 4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :
   
   1. $\begin{cases} x = -2t-1 \\ y=3t \\ z=t+4 \end{cases}, t\in \mathbb{R}$
   2. $\begin{cases} x=-1 \\ y=7t \\ z=7t+4 \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
   3. $\begin{cases} x=-1-2t \\ y=5+3t \\ z=4+t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
   4. $\begin{cases} x=2t \\ y=-3t \\ z=-t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
$\vec{AB}(-2;3;1)$ et $C(-1;0;4)$
Une réprésentation paramétrique de cette droite est donc :
$$\begin{cases} x=-1-2t \\ y=0+3t \qquad t \in \mathbb{R} \\ z=4+t \end{cases}$$
Réponse a
$~$
4. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1 ; 2 ; 3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3 ; -5 ; 1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = t - 7 \\ y = t + 3 \\ z = 2t + 5 \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
   1. La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr P$.
   2. La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr P$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathscr P$.
   3. La droite $\Delta$ et le plan $\mathscr P$ sont sécants.
   4. La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr P$.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(1;1;2)$.$\vec{u}.\vec{n} = 1 \times 3 + 1 \times (-5) + 2\times 1 = 0$.
Par conséquent ces $2$ vecteurs sont orthogonaux et $\Delta$ est parallèles à $\mathscr{P}$.
$~$
Une équation cartésienne du plan est de la forme : $$3x-5y+z-d=0$$
Or $D \in \mathscr{P}$ .
Donc $3 \times (-1) – 5 \times 2 + 3 + d = 0$ et $d= 10$.
Une équation de $\mathscr{P}$ est, par conséquent : $$3x-5y+z+10=0$$
Le point de coordonnées (-7;3;5) appartient à $\Delta$.
Regardons si ce point appartient également au plan :
$$3 \times (-7) – 5\times 3 + 5 + 10 = -21 \ne 0$$
Réponse b
$~$