Baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013 - Correction de l'Exercice 3

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Exercice 3 : 5 points

Commun à tous les candidats

Les $3$ parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
L'ensemble des morceaux musicaux qu'il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante : 30 % de musique classique, 45 % de variété, le reste étant du jazz.
Thomas a utilisé deux qualités d'encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :

• les $\dfrac{5}{6}$ des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
• les $\dfrac{5}{9}$ des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.

On considérera les évènements suivants :

• $C$ : «Le morceau écouté est un morceau de musique classique » ;
• $V$ : «Le morceau écouté est un morceau de variété » ;
• $J$ : «Le morceau écouté est un morceau de jazz » ;
• $H$ :«Le morceau écouté est encodé en haute qualité » ;
• $S$ :«Le morceau écouté est encodé en qualité standard ».

Partie 1
Thomas décide d'écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction «lecture aléatoire ».
On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.

1. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?

On a donc $p(C \cap H) = p(C)\times p_C(H)=0,3 \times \dfrac{5}{6} = 0,25$
$~$
2. On sait que $P(H)=\dfrac{13}{20}$.
   1. Les évènements $C$ et $H$ sont-ils indépendants ?
   $p(H) \times p(C) = \dfrac{13}{20} \times 0,3 = 0,195 \ne 0,25$
   Donc les $2$ événements ne sont pas indépendants.
   $~$
   
   2. Calculer $P(J \cap H)$ et $P_J(H)$.
   D'après la formule des probabilités totales on a : $p(H) = p(J \cap H) + p(V \cap H) + p(C \cap H)$
   Donc $p(J \cap H) = \dfrac{13}{20} – \dfrac{4}{9} \times 0,45 – 0,25 = 0,2$.
   $~$
   Par conséquent $$p_J(H) = \dfrac{p(J \cap H)}{p(J)} = 0,8$$

Partie 2

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction «lecture aléatoire » de son MP3, 60 morceaux de musique.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 \% de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$




La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

$$I_{60}\approx [0,184;0,416]$$
2. Thomas a comptabilisé qu'il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction «lecture aléatoire » du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?
La fréquence observée est donc $\dfrac{12}{60} = 0,2 \in I_{60}$.
La lecture aléatoire n’est donc pas défectueuse.
$~$

Partie 3
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que $X$ suit la loi normale d'espérance $200$ et d'écart-type $20$.
On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

On écoute un morceau musical au hasard.

1. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(180 \leqslant X \leqslant 220)$.
$P(180 \le X \le 220) = P(X \le 220) – P(X \le 180)$ $ = 0,841 – 0,159 $ $= 0,682$
$~$ ou directement avec une calculatrice :

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

2. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.
On cherche donc :
$$\begin{array}{l} P(X \ge 240) & = 1 – P( X \le 240) \\ & = 1 – 0,977 \\ & = 0,023 \end{array}$$
$~$ ou directement avec une calculatrice :

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$