Baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013 - Exercice 4

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Exercice 4 : 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite  $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\]

1. 1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$.
2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   2. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
3. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
   2. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
   4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.