Baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013 - Correction de l'Exercice 4

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Exercice 4 : 5 points


Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite  $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\]

    1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    2. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
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    3. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$.
      • Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
        $~$
      • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
        Alors $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
        Donc $u_{n+1} > 0$
        La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
        $~$
      • Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
        Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
        $~$
  1. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
    1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    2. $$\begin{array}{l} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – u_n \\ & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – \dfrac{u_n(1+2u_n)}{1+2u_n} \\ & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – \dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\& = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\ & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n} \end{array}$$
      On sait que $0 < u_n < 1$ donc $\left.\begin{array}{l} 2u_n > 0\\ 1-u_n > 0 \\ 1+2 u_n > 0\end{array}\right\}$ ainsi on a $u_{n+1} – u_n > 0$.
      La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
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    3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    4. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1; elle est donc convergente.
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  2. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
    2. $$\begin{array} {l}v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1+u_{n+1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1 +\dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\ &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\ &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\ &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\ &=3v_n \end{array}$$
      $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
      $~$
    3. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.


    4. Comme $(v_n)$ est une suite géométrique, on a $v_n= q^n \times v_0$.
      $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
    5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
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      $$ \begin{array} {l} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \Leftrightarrow 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\ &\Leftrightarrow (1-u_n) \times 3^n = u_n \\ & \Leftrightarrow 3^n = u_n + 3^n u_n \\ & \Leftrightarrow u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n} \end{array}$$
      Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
    7. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
    8. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
      Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$
      $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$
      Remarque : une autre façon consiste à écrire : $$u_n=\dfrac{3^n \times 1}{3^n \times \left (1+ \dfrac{1}{3^n}\right )}=\dfrac{1}{1+\left (\dfrac{1}{3}\right )^n}$$ Comme $-1< \dfrac{1}{3} < 1$, on déduit $\lim\limits_{n \to +\infty}~\left (\dfrac{1}{3}\right )^n=0$ et donc $\lim\limits_{n \to +\infty}~u_n=1.$

 

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