Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère l'équation suivante d'inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs: \[ \text{(E)}\; 7x-3y=1. \]

1. Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu'il donne les solutions entières $(x~;~y)$ de l'équation (E) vérifiant $-5\leqslant x\leqslant 10$ et $-5\leqslant y\leqslant 10$. $$\begin{array}{|l |l |}\hline \text{Variables:} & X \text{ est un nombre entier}\\ & Y \text{ est un nombre entier }\\ \text{Début: }& \text{ Pour } X \text{ variant de } -5 \text{ à } 10\\ &\phantom{XXXX} (1) \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\phantom{XXXXXXXX} (2) \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\phantom{XXXXXXXX} \text{Alors Afficher } X \text{ et } Y\\ &\phantom{XXXXXXXX} \text{ Fin Si }\\ &\phantom{XXXX}\text{ Fin Pour }\\ & \text{ Fin Pour }\\ \text{ Fin }& \hline \end{array}$$
2. 1. Donner une solution particulière de l'équation (E).
   2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
   3. Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) tels que $-5\leqslant x\leqslant 10$ et $-5\leqslant y\leqslant 10$.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$.
On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation \[ 7x - 3y-1=0 \] On définie la suite $(A_n)$ de points du plan de coordonnées $(x_n~:~y_n)$ vérifiant pour tout $n$ entier naturel: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x_0&=&1\\ y_0&=&2 \end{array} \right.\qquad\text{et}\qquad \left\{ \begin{array}{rcl} x_{n+1}&=& - \frac{13}{2}x_n + 3y_n\\[1.5ex] y_{n+1}&=& - \frac{35}{2}x_n + 8y_n \end{array} \right. \]

1. On note $M$ la matrice $\begin{pmatrix} \frac{-13}{2}&3\\\frac{-35}{2}&8 \end{pmatrix}$ . Pour tout entier naturel $n$, on pose $X_n=\begin{pmatrix} x_n\\y_n \end{pmatrix}$.
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=MX_n$.
   2. Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel $n$, $X_n$ en fonction de $M^n$ et $X_0$.
2. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix} -2&-3\\-5&-7 \end{pmatrix}$ et on admet que la matrice inverse de $P$, notée $P^{-1}$, est définie par $P^{-1}=\begin{pmatrix} 7&-3\\-5&2 \end{pmatrix}$.
   1. Vérifier que $P^{-1}MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   2. Pour tout entier naturel $n$, donner $D^n$ sans justification.
   3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = PD^nP^{-1}$.
3. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=\begin{pmatrix} -14+\frac{15}{2^n}&6-\frac{6}{2^n}\\[1.5ex] -35+\frac{35}{2^n}&15-\frac{14}{2^n} \end{pmatrix}$.
   En déduire que, pour tout entier naturel $n$, une expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.
4. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.