Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère l'équation suivante d'inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs: \[ \text{(E)}\; 7x-3y=1. \]

1. Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu'il donne les solutions entières $(x~;~y)$ de l'équation (E) vérifiant $-5\leqslant x\leqslant 10$ et $-5\leqslant y\leqslant 10$. $$\begin{array}{|l |l |}\hline \text{Variables:} & X \text{ est un nombre entier}\\ & Y \text{ est un nombre entier }\\ \text{Début: }& \text{ Pour } X \text{ variant de } -5 \text{ à } 10\\ &\phantom{XXXX} (1) \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\phantom{XXXXXXXX} (2) \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\phantom{XXXXXXXX} \text{Alors Afficher } X \text{ et } Y\\ &\phantom{XXXXXXXX} \text{ Fin Si }\\ &\phantom{XXXX}\text{ Fin Pour }\\ & \text{ Fin Pour }\\ \text{ Fin }& \hline \end{array}$$
Variables :
$\quad$ $X$ est un nombre entier
$\quad$ $Y$ est un nombre entier
Début :
$\quad$ Pour $X$ vairant de $-5$ à $10$
$\qquad$ Pour $Y$ variant de $-5$ à $10$
$\quad \qquad $ Si $7X-3Y=1$
$\quad \qquad$ Alors Afficher $X$ et $Y$
$\quad \qquad$ Fin Si
$\qquad$ Fin Pour
$\quad$ Fin Pour
Fin
$\quad$
2. 1. Donner une solution particulière de l'équation (E).
   $7\times 1 -3\times 2 = 7 -6 =1$
   Le couple $(1;2)$ est donc une solution particulière de $(E)$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
   On considère une autre solution $(x;y)$ de $(E)$.
   On a donc $7x-3y=1$ et $7 \times 1 -3\times 2 = 1$
   Par différence on obtient $7(x-1)-3(y-2)=0$
   Soit $7(x-1)=3(y-2)$
   $7$ et $3$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x-1=3k$ et $y-2=7k$
   Soit $x=1+3k$ et $y=2+7k$.
   $\quad$
   Réciproquement: soit $k$ un entier relatif alors
   $7(1+3k)-3(2+7k)=7+21k-6-21k=1$
   $\quad$
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(1+3k;2+7k)$ pour tout entier relatif $k$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) tels que $-5\leqslant x\leqslant 10$ et $-5\leqslant y\leqslant 10$.
   On veut que $-5 \leqslant 1+3k \leqslant 10$ et $-5 \leqslant 2+7k \leqslant 10$
   Soit $-6 \leqslant 3k \leqslant 9$ et $-7 \leqslant 7k \leqslant 8$
   D’où $ -2 \leqslant k \leqslant 3$ et $-1 \leqslant k \leqslant \dfrac{8}{7}$
   Les valeurs possibles pour $k$ sont donc $-1,0$ et $1$.
   Les couples recherchés sont donc $(-2;-5)$, $(1;2)$ et $(4;9)$.
   $\quad$

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$.
On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation \[ 7x - 3y-1=0 \] On définie la suite $(A_n)$ de points du plan de coordonnées $(x_n~:~y_n)$ vérifiant pour tout $n$ entier naturel: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x_0&=&1\\ y_0&=&2 \end{array} \right.\qquad\text{et}\qquad \left\{ \begin{array}{rcl} x_{n+1}&=& - \frac{13}{2}x_n + 3y_n\\[1.5ex] y_{n+1}&=& - \frac{35}{2}x_n + 8y_n \end{array} \right. \]

1. On note $M$ la matrice $\begin{pmatrix} \frac{-13}{2}&3\\\frac{-35}{2}&8 \end{pmatrix}$ . Pour tout entier naturel $n$, on pose $X_n=\begin{pmatrix} x_n\\y_n \end{pmatrix}$.
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=MX_n$.
   $MX_n=\begin{pmatrix} -\dfrac{13}{2}x_n+3y_n \\-\dfrac{35}{2}x_n+8y_n \end{pmatrix}=X_{n+1}$
   $\quad$
   
   2. Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel $n$, $X_n$ en fonction de $M^n$ et $X_0$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $X_n=M^nX_0$.
   $\quad$
2. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix} -2&-3\\-5&-7 \end{pmatrix}$ et on admet que la matrice inverse de $P$, notée $P^{-1}$, est définie par $P^{-1}=\begin{pmatrix} 7&-3\\-5&2 \end{pmatrix}$.
   1. Vérifier que $P^{-1}MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   $P^{-1}MP=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$.
   On a donc $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ qui est bien une matrice diagonale.
   $\quad$
   
   2. Pour tout entier naturel $n$, donner $D^n$ sans justification.
   Pour tout entier naturel $n$, on a : $D^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2^n}\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = PD^nP^{-1}$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $M^0=I_2$ où $I_2$ est la matrice identité.
   $PD^0P^{-1}=PI_2P^{-1}=PP^{-1}=I_2=M^0$
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$: $M^n=PD^nP^{-1}$
   $\begin{align*} M^{n+1}&= M^n \times M \\
   &=PD^nP^{-1}\times PDP^{-1} \\
   &=PD^nDP^{-1} \\
   &=PD^{n+1}P^{-1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $M^n=PD^nP^{-1}$.
   $\quad$
3. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=\begin{pmatrix} -14+\frac{15}{2^n}&6-\frac{6}{2^n}\\[1.5ex] -35+\frac{35}{2^n}&15-\frac{14}{2^n} \end{pmatrix}$.
   En déduire que, pour tout entier naturel $n$, une expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.
On a $X_n=M^nX_0$
Donc $\begin{cases} x_n=-14+\dfrac{15}{2^n}+12-\dfrac{12}{2^n} \\y_n=-35+\dfrac{35}{2^n}+30-\dfrac{28}{2^n} \end{cases}$ soit $\begin{cases} x_n=-2+\dfrac{3}{2^n}\\y_n=-5+\dfrac{7}{2^n}\end{cases}$.
$\quad$
4. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
On considère un entier naturel $n$.
$\begin{align*} 7x_n-3y_n-1 &=-14+\dfrac{21}{2^n}+15-\dfrac{21}{2^n}-1 \\
&=1-1 \\
&=0
\end{align*}$
Pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient bien à la droite $\mathscr{D}$.