Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d'une ville. Dans tout l'exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.
Les parties A B et C sont indépendantes.

Partie A - Durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d'attente le temps qui s'écoule entre le moment où la voiture se présente à l'entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d'entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée. $$\begin{array}{|l|c |c |c |c |}\hline \text{Durée d'attente en minute } &[0 ; 2[ &[2 ; 4[ &[4 ; 6[ &[6 ;8[\\ \hline \text{Nombre de voitures }& 75 &19 &10 &5\\ \hline \end{array}$$

1. Proposer une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking.
Pour déterminer une estimation de la durée moyenne d’attente on va utiliser le centre des classes.
$\begin{align*} \dfrac{1\times 75+3\times 19+5\times 10+7\times 5}{75+19+10+5}&=\dfrac{217}{109} \\
&\approx 1,991
\end{align*}$
Une voiture à l’entrée du parking attend en moyenne environ $2$ minutes.

2. On décide de modéliser cette durée d'attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
   1. Justifier que l'on peut choisir $\lambda = 0,5$min.
   On a :
   $\begin{align*} E(T)=\dfrac{1}{\lambda}&\iff 2=\dfrac{1}{\lambda} \\
   &\iff \lambda =\dfrac{1}{2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Une voiture se présente à l'entrée du parking. Quelle est la probabilité qu'elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
   On veut calculer
   $\begin{align*} P(T\leqslant 2)&= 1-\text{e}^{-0,5\times 2}\\
   &=1-\text{e}^{-1} \\
   &\approx 0,632~1
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{T\geqslant 1}(T\leqslant 2)&=\dfrac{P(1\leqslant T\leqslant 2)}{P(T\geqslant 1)} \\
   &=\dfrac{\text{e}^{-0,5\times 1}-\text{e}^{-0,5 \times 2}}{\text{e}^{-0,5\times 1}} \\
   &=\dfrac{\text{e}^{-0,5}-\text{e}^{-1}}{\text{e}^{-0,5}} \\
   &\approx 0,393~5
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B - Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d'une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 70$min et d'écart-type $\sigma = 30$min.

1. 1. Quelle est la durée moyenne de stationnement d'une voiture ?
   D’après l’énoncé $E(D)=70$.
   La durée moyenne de stationnement d’une voiture est donc de $70$ minutes.
   $\quad$
   
   2. Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
   Méthode 1 : On veut calculer :
   $P(D\geqslant 120)$

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   
   Méthode 2 : On veut calculer :
   $P(D\geqslant 120)=0,5-P(70\leqslant D\leqslant 120) \approx 0,047~8$
   $\quad$
   
   3. À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99% des voitures ?
   On veut trouver la valeur de $d$ telle que $P(D\leqslant d)=0,99$.
   En utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d\approx 140$.
   $99\%$ des voitures stationnement au plus environ $140$ minutes dans le parking.
   $\quad$
2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Durée de stationnement}&\text{ Inférieure à 15 min} &\text{Entre 15 min et 1 h }&\text{Heure supplémentaire}\\ \hline \text{Tarif en euros} &\text{Gratuit }&3,5 &t\\ \hline \end{array}$$ Déterminer le tarif $t$ de l'heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de $5$ euros.
$P(D\leqslant 15)=0,5-P(15\leqslant D\leqslant 70)\approx 0,033~4$.
$P(15\leqslant D\leqslant 60)\approx 0,336~1$
$P(60 \leqslant D\leqslant 120) \approx 0,582~8$ : première heure supplémentaire
$P(120 \leqslant D\leqslant 180) \approx 0,047~8$ : deuxième heure supplémentaire
En notant $P$ la variable aléatoire égal au prix du parking le gestionnaire veut que :
$\begin{align*} E(P)=5&\iff 0,336~1\times 3,5+0,582~8\times (3,5+t)+0,047~8\times (3,5+2t)=5 \\
&\iff 1,176~35+2,0398+0,582~8t+0,167~3+0,095~6t=5\\
&\iff 0,678~4t=1,616~55 \\
&\iff t=\dfrac{1,616~55}{0,678~4}
\end{align*}$
Ainsi $t\approx 2,38$ euros.
L’heure supplémentaire doit donc être facturée environ $2,38$ euros.
$\quad$

Partie C - Temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville

On a donc $\mu=30$ et :
$\begin{align*} P(T’ \leqslant 37)=0,75 &\iff P(T’-30\leqslant 7)=0,75 \\
&\iff P\left(\dfrac{T’-30}{\sigma’}\leqslant \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75
\end{align*}$

Or la variable aléatoire $X=\dfrac{T’-30}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.

Ainsi, d’après la touche inverse loi normale de la calculatrice on a :
$\begin{align*} P\left(X\leqslant \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75 &\iff \dfrac{7}{\sigma’} \approx 0,674~5 \\
&\iff \sigma’ \approx 10,378~2
\end{align*}$

On a alors $P(10 \leqslant T’\leqslant 50) \approx 0,946~0 < 0,95$

L’objectif n’est donc pas atteint.