Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un numéro de carte bancaire est de la forme: \[a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c\] où $a_{1},\:a_{2},\:\ldots,\:a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$. Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire. $c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres. L'algorithme suivant permet de valider la conformité d'un numéro de carte donné. $$\begin{array}{\linewidth}{r l} \text{Initialisation} :& I \text{ prend la valeur }0\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} P \text{ prend la valeur } 0\\ R \text{ prend la valeur } 0\\ \end{array}\\ \text{Traitement} : &\text{Pour } k \text{ allant de } 0 \text{ à } 7 :\\ &R \text{ prend la valeur du reste de la division euclidienne de} 2a_{2k+1} \text{ par } 9\\ &I \text{ prend la valeur } I + R\\ &\text{Fin Pour }\\ &\text{ Pour } k \text{ allant de 1 à 7 }:\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} P \text{ prend la valeur } P + a_{2k}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin Pour }\\ &S \text{ prend la valeur } I + P + c\\ \text{Sortie} : &\text{ Si } S \text{ est un multiple de 10 alors} :\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher « Le numéro de la carte est correct. »}\\ \end{array}\\ &\text{Sinon }:\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher « Le numéro de la carte n'est pas correct. »}\\ \end{array}\\ &\text{Fin Si }\\ \end{array}$$

1. On considère le numéro de carte suivant: 5635  4002 9561 3411.
   1. Compléter le tableau en annexe permettant d'obtenir la valeur finale de la variable $I$.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
   \hline
   a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&3&1\\
   \hline
   2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&6&2\\
   \hline
   R&1&6&8&0&0&3&6&2\\
   \hline
   I&1&7&15&15&15&18&24&26\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   
   2. Justifier que le numéro de la carte 5635  4002 9561 3411 est correct.
   On a :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   a_{2k}&6&5&0&2&5&1&4\\
   \hline
   P&6&11&11&13&18&19&23\\
   \hline
   \end{array}$
   Donc $S=26+23+c=26+23+1=50$
   $50$ est bien un multiple de $10$. Le numéro est donc correct
   $\quad$
   
   3. On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5) est changé en 6. Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu 6$a$35 4002 9561 3411 reste correct ?
   
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
   \hline
   a_{2k+1}&6&3&4&0&9&6&3&1\\
   \hline
   2a_{2k+1}&12&6&8&0&18&12&6&2\\
   \hline
   R&31&6&8&0&0&3&6&2\\
   \hline
   I&3&9&17&17&17&20&26&28\\
   \hline
   \end{array}$
   De plus $P=a+17$
   On veut donc que $a+17+28+1$ soit un multiple de $10$
   Soit :
   $a+17+28+1\equiv 0~~[10] \iff a+46\equiv 0~~[10]$
   Puisque $a$ est un entier compris entre $0$ et $9$, la seule possibilité est $a=4$.
   $\quad$
2. On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d'une carte bancaire. Montrer qu'il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
Si $S$ est un multiple de $10$ alors on prend $c=0$
Si $S$ n’est pas un multiple de $10$, il existe alors un entier naturel $n$ tel que $n<S<n+1$.
Ainsi $0<n+1-S<10$.
Et on note $c=n+1-S$.
Il existe donc bien une clé $c$ rendant ce numéro correct.
$\quad$
Supposons qu’il existe deux clés valides : $c$ et $c’$.
On a ainsi $I+P+c\equiv I+P+c’~~[10]$ soit $c\equiv c’~~[10]$.
Or $c$ et $c’$ sont deux entiers naturels compris entre $0$ et $9$.
Cela signifie donc que $c=c’$ et la clé est unique.
$\quad$
3. Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
Supposons que tous les chiffres soient égaux à $n$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
2a_1&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\
\hline
R&0&2&4&6&8&1&3&5&7&0\\
\hline
I&0&16&32&48&64&8&24&40&56&0\\
\hline
P&0&7&14&21&28&35&42&49&56&63\\
\hline
S&0&24&48&72&96&48&72&96&120&72\\
\hline
\end{array}$
Les seuls numéros possibles de ce type sont :
$0000~0000~0000~0000$ et $8888~8888~8888~8888$
$\quad$
4. On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct. On a trouvé une situation où ce n'est pas le cas, l'un des deux chiffres permutés valant 1. Peut-on déterminer l'autre chiffre permuté ?
Dans le numéro $5635~4002~9561~3411$ de l’exemple.
Si on échange le $1$ et le $6$ ou le $1$ et le $3$ alors dans les deux cas le numéro n’est pas correct.
On ne peut donc pas déterminé l’autre chiffre permuté.
$\quad$

Annexe

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