Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 - Exercice 4
Exercice 4 5 points
L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de $150$ans. L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.
Partie A - Modélisation de l'âge d'un épicéa
Pour un épicéa dont l'âge est compris entre $20$ et $120$ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$m du sol par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0;1[ par : \[f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1 - x}\right)\] où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l'âge en années.
- Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;1[$.
- Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans.
Partie B
On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de $50$ à $150$ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I&J&K &L&M\\ \hline 1&\text{Âges (en années)}&50 &70 &80 &85 &90 &95 &100 &105 &110 &120 &130 &150\\ \hline 2&\text{Hauteurs (en mètres)} &11,2 &15,6 &18,05 &19,3 &20,55 &21,8 &23 &24,2 &25,4 &27,6 &29,65 &33\\ \hline 3&\text{Vitesse de croissance (en mètres par année)}& &0,22 &0,245 &0,25&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$
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- Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule D3.
- Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?
- Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$m du sol vaut $27$cm.
- La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
- Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
- Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$cm ?
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