Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de $150$ans. L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.

Partie A - Modélisation de l'âge d'un épicéa

Pour un épicéa dont l'âge est compris entre $20$ et $120$ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$m du sol par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0;1[ par : \[f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1 - x}\right)\] où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l'âge en années.

1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;1[$.
2. Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans.

Partie B

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de $50$ à $150$ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I&J&K &L&M\\ \hline 1&\text{Âges (en années)}&50 &70 &80 &85 &90 &95 &100 &105 &110 &120 &130 &150\\ \hline 2&\text{Hauteurs (en mètres)} &11,2 &15,6 &18,05 &19,3 &20,55 &21,8 &23 &24,2 &25,4 &27,6 &29,65 &33\\ \hline 3&\text{Vitesse de croissance (en mètres par année)}& &0,22 &0,245 &0,25&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$

1. 1. Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule D3.
   2. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?
2. Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$m du sol vaut $27$cm.
3. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
   1. Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
   2. Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$cm ?