Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 - Spécialité

Page 9 sur 10: Spécialité

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un numéro de carte bancaire est de la forme: \[a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c\] où $a_{1},\:a_{2},\:\ldots,\:a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$. Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire. $c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres. L'algorithme suivant permet de valider la conformité d'un numéro de carte donné. $$\begin{array}{\linewidth}{r l} \text{Initialisation} :& I \text{ prend la valeur }0\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} P \text{ prend la valeur } 0\\ R \text{ prend la valeur } 0\\ \end{array}\\ \text{Traitement} : &\text{Pour } k \text{ allant de } 0 \text{ à } 7 :\\ &R \text{ prend la valeur du reste de la division euclidienne de} 2a_{2k+1} \text{ par } 9\\ &I \text{ prend la valeur } I + R\\ &\text{Fin Pour }\\ &\text{ Pour } k \text{ allant de 1 à 7 }:\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} P \text{ prend la valeur } P + a_{2k}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin Pour }\\ &S \text{ prend la valeur } I + P + c\\ \text{Sortie} : &\text{ Si } S \text{ est un multiple de 10 alors} :\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher « Le numéro de la carte est correct. »}\\ \end{array}\\ &\text{Sinon }:\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher « Le numéro de la carte n'est pas correct. »}\\ \end{array}\\ &\text{Fin Si }\\ \end{array}$$

1. On considère le numéro de carte suivant: 5635  4002 9561 3411.
   1. Compléter le tableau en annexe permettant d'obtenir la valeur finale de la variable $I$.
   2. Justifier que le numéro de la carte 5635  4002 9561 3411 est correct.
   3. On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5) est changé en 6. Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu 6$a$35 4002 9561 3411 reste correct ?
2. On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d'une carte bancaire. Montrer qu'il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
3. Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
4. On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct. On a trouvé une situation où ce n'est pas le cas, l'un des deux chiffres permutés valant 1. Peut-on déterminer l'autre chiffre permuté ?

Annexe

À rendre avec la copie

Exercice 4 -- Question 1. a.

$$\begin{array}{ |l| c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline a_{2k+1} &&&&&&&&\\ \hline 2a_{2k+1} &&&&&&&&\\ \hline R &&&&&&&&\\ \hline I &&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$