Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 - Correction Exercice 4
Correction de l'exercice 4 5 points
L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de $150$ans. L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.
Partie A - Modélisation de l'âge d'un épicéa
Pour un épicéa dont l'âge est compris entre $20$ et $120$ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$m du sol par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0;1[ par : \[f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1 - x}\right)\] où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l'âge en années.
- Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;1[$. On appelle $g$ la fonction définie sur $]0;1[$ par $g'(x)=\dfrac{20x}{1-x}$.
- Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans. $\quad$
Cette fonction est dérivable sur $]0;1[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
$g'(x)=20\times \dfrac{1-x+x}{(1-x)^2}=\dfrac{20}{(1-x)^2}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;1[$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=30\times \dfrac{\dfrac{20}{(1-x)^2}}{\dfrac{20x}{1-x}} \\
&=30\times \dfrac{20}{(1-x)^2}\times \dfrac{1-x}{20x} \\
&=\dfrac{30}{x(1-x)}
\end{align*}$
Si $x$ appartient à l’intervalle $]0;1[$ alors $x$ et $1-x$ sont positifs.
Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
$\quad$
On peut aussi remarquer que sur l’intervalle $]0;1[$ alors $x$ et $1-x$ sont positifs, ainsi $f(x)=30 \left(\ln \left( 20x \right)-\ln(1-x)\right)$.
On obtient ainsi plus facilement : $$\begin{array}{lr} f'(x)&=30\left( \dfrac{20}{20x}- \dfrac{-1}{1-x}\right)\\ &=30\left( \dfrac{1}{ x}+ \dfrac{ 1}{1-x}\right)\\ &=\dfrac{30}{x(1-x)} \end{array}$$
$\begin{align*} 20 \leqslant f(x) \leqslant 120 &\iff 20 \leqslant 30\ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \leqslant 120 \\
&\iff \dfrac{2}{3} \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \leqslant 4 \\
&\iff \text{e}^{\frac{2}{3}}\leqslant \dfrac{20x}{1-x} \leqslant \text{e}^4
\end{align*}$
D’une part :
$\begin{align*} \text{e}^{\frac{2}{3}} \leqslant \dfrac{20x}{1-x} &\iff (1-x)\text{e}^{\frac{2}{3}} \leqslant 20 x \\
&\iff \text{e}^{\frac{2}{3}}-\text{e}^{\frac{2}{3}}x \leqslant 20x \\
&\iff \text{e}^{\frac{2}{3}}\leqslant \left(20+\text{e}^{\frac{2}{3}}\right)x \\
&\iff \dfrac{\text{e}^{\frac{2}{3}}}{20+\text{e}^{\frac{2}{3}}} \leqslant x
\end{align*}$
Soit, en arrondissant au cm près, $x\geqslant 0,09$ mètre.
$\quad$
D’autre part :
$\begin{align*} \dfrac{20x}{1-x} \leqslant \text{e}^4 &\iff 20x \leqslant (1-x)\text{e}^4 \\
&\iff 20x \leqslant \text{e}^4-\text{e}^4 x \\
&\iff \left(20+\text{e}^4\right)x \leqslant \text{e}^4 \\
&\iff x \leqslant \dfrac{\text{e}^4}{20+\text{e}^4}
\end{align*}$
Soit, en arrondissant au cm près, $x \leqslant 0,73$ mètre.
La fonction $f$ étant strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$, on en déduit donc que le diamètre doit être compris entre $0,08$ mètre et $0,73$ mètre pour que ce modèle.
$\quad$
Partie B
On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de $50$ à $150$ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I&J&K &L&M\\ \hline 1&\text{Âges (en années)}&50 &70 &80 &85 &90 &95 &100 &105 &110 &120 &130 &150\\ \hline 2&\text{Hauteurs (en mètres)} &11,2 &15,6 &18,05 &19,3 &20,55 &21,8 &23 &24,2 &25,4 &27,6 &29,65 &33\\ \hline 3&\text{Vitesse de croissance (en mètres par année)}& &0,22 &0,245 &0,25&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$
-
- Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule D3. Ce nombre signifie que chaque année, sur la période $70$ ans à $80$ ans, l’arbre a grandi de $0,245$ mètre.
- $\quad$
- Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ? En $C3$ on a saisi $=(C2-B2)/(C1-B1)$
- $\quad$
- $f(0,27)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,27}{1-0,27}\right)\approx 60$
L’arbre a donc $60$ ans.
Sur la période allant de $50$ ans à $70$ ans l’arbre a grandi de $0,22$ mètre par an.
A $60$ ans, il mesure donc $11,2+10\times 0,22 = 13,4$ mètres.
$\quad$
- Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$m du sol vaut $27$cm.
- La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
- Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche. On calcule les vitesse de croissance manquantes.
- $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
- \hline
- \text{Âges}&50&70&80&85&90&95&100&105&110&120&130&150\\
- \hline
- \text{Vitesse}&&0,22&0,245&0,25&0,25&0,25&0,24&0,24&0,24&0,22&0,205&0,167~5\\
- \hline
- \end{array}$
- La vitesse de croissance est donc maximale entre $80$ et $95$ ans : la vitesse de croissance concerne un intervalle; donc ici les intervalles $[80;85]$, $[85;90]$ et $[90;95]$.
- $\quad$
- Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$cm ? $f(0,7)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,7}{1-0,7}\right)\approx 115 $ ans
Il n’est donc pas cohérent de demander aux bûcherons de couper des épicéa de diamètre 70 cm puisque la qualité du bois n’est plus la meilleure.
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