Limites - Exercices
EXERCICES
Avec les définitions
Exercice
On considère la fonction f définie sur ]0,+∞[ par f(x)=2x2+1x2
- Donner des valeurs approchées à 10−3 près de f(1), f(32), f(320) et f(3232).
- Observer la représentation graphique de f donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de f en +∞ ?
- On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon 0,01 , c'est-à -dire ]1,99;2,01[ . Démontrer que pour x>10 , f(x)∈]1,99;2,01[ (On pourra écrire f(x) sous la forme f(x)=2+1/x2 )
- On considère l'intervalle ]2−r,2+r[ avec r>0. Montrer que pour x supérieur à un certain x0 à déterminer en fonction de r , tous les f(x) appartiennent à l'intervalle ]2−r,2+r[.
- Démontrer que lim
Exercice
On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par 3x^3+x^2
- Donner les valeurs de g(32), g(320) et g(3232).
- Observer la représentation graphique de g donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de g en +\infty ?
- On considère l'intervalle ]100; +\infty[ . Démontrer que pour x > 10, f(x)\in\ ]100,+\infty[.
- On considère un intervalle ]A,+\infty[ , avec A > 0. Montrer que pour x supérieur à \sqrt{A} , tous les f(x) appartiennent à l'intervalle ]A ; +\infty[ .
Exercice
Soit h définie sur \mathbb{R} par h(x)=-2x+3 Démontrez que \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty
Exercice
On considère la fonction h définie sur ]1,+\infty[ par h(x)=2+\dfrac{3}{(x-1)^2}
- Justifiez que h est bien définie sur ]1,+\infty[.
- Observer la représentation graphique de h donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de h en 1 ?
- On considère l'intervalle ]1000; +\infty[ . Donnez une condition suffisante portant sur x pour que h(x)\in\ ]1000,+\infty[.
- On considère un intervalle ]A,+\infty[ , avec A > 2. Donnez une condition suffisante portant sur x pour que h(x)\in ]A ; +\infty[ .
- Justifiez que \lim\limits_{x\to 1} h(x)=+\infty.
Avec les théorèmes
Exercice
Limite en zéro Soit f~:~x\mapsto \dfrac{|x|}{x}. Étudiez sa limite en zéro.
Exercice
De la géométrie pour calculer une limite
Voici une première méthode de calcul de \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}. Pourquoi suffit-il d'étudier la limite pour des valeurs de x>0 ? Utilisez une figure pour obtenir que, pour tout x\in]0,\pi/2[,
\sin x< x <\tan x Déduisez-en un encadrement de \dfrac{\sin x}{x} pour tout x\in]0,\pi/2[ et concluez après avoir étudié la parité de la fonction.
Exercices : Limites trigonométriques
En supposant connu le résultat de l'exercice précédent, calculez \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\tan x}{x} et \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}
Pour la 2éme, utilisez la formule bien connue \cos(2a)=1-2\sin^2(a)
Exercice : Limite et radicaux
Calculez :
- \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}
- \lim\limits_{x\to +\infty}{\sqrt{x^2+1}-x}
- \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}}
Calculs stakhanovistes
Applications directes du cours
Exercice
Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de +\infty:
- x^2-5x+6;
- -4x^2+6x-7;
- \dfrac{2x+1}{x-1};
- \dfrac{2x^2-3x+5}{x^3+x-3};
- \dfrac{x^3}{x^2+1}-x;
- \dfrac{2x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}.
Exercice
Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de +\infty:
- \dfrac{x+\sin(x)}{-2x+\cos(x)};
- 2x-\sqrt{x^2+3x-1};
- \dfrac{\sqrt{x^2-2x+3}}{x}.
Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de a:
- \dfrac{x+4}{x^2+3x+2} en a=-2;
- \dfrac{x+2}{x^2+3x+2} en a=-2;
- \dfrac{-x^2+x+6}{2x^2-5x+2} en a=2;
- \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} en a=0;
- \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x} en a=0;
- \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} en a=0;
- \tan(x) en a=\dfrac{\pi}{2};
- \dfrac{\sin(3x)}{x} en a=0.
Exercice
Soit f la fonction définie par : f(x)=\dfrac{-x^3+2x^2-x+3}{x^2+1} \,.
- Déterminer trois réels a, b et c tels que f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x^2+1}.
- Calculer la limite de f(x)-(ax+b) en +\infty puis en -\infty.
- En déduire que la courbe représentative de f, \mathcal{C} admet une asymptote oblique \Delta en -\infty et en +\infty.
- Étudier les positions relatives de \mathcal{C} et de \Delta.
Approfondissement
Exercice
Étudier les limites des fonctions suivantes :
- \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1} en +\infty;
- x\left(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}-1\right) en +\infty;
- \dfrac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+3}}{x^2-2x} en 2;
- \dfrac{\tan(x)}{x} en 0;
- \dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)} en 0 avec ab\neq0;
- x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) en +\infty.
Exercice
Étudier selon les valeurs de a et de b les limites de
- f:x\mapsto\sqrt{x^2+5x+1}+ax+b en +\infty et en -\infty
- g:x\mapsto\dfrac{ax^2-(2a+1)x+2}{x-1} en 1.
Exercice
Question de cours (Métropole, Nouvelle Calédonie novembre 2007)
- Soit f une fonction réelle définie sur [a~;~+ \infty[. Compléter la phrase suivante : « On dit que f admet une limite finie \ell en + \infty si ... »
- Démontrer le théorème « des gendarmes » : soient f,~g et h trois fonctions définies sur [a~;~+ \infty[ et \ell un nombre réel. Si g et h ont pour limite commune \ell quand x tend vers + \infty, et si pour tout x assez grand g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x), alors la limite de f quand x tend vers + \infty est égale à \ell.
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