Rédigé par Luc Giraud le 20 juillet 2019. Publié dans Cours en TS.

Limites - Exercices

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $3x^3+x^2$

1. Donner les valeurs de $g(32)$, $g(320)$ et $g(3232)$.
2. Observer la représentation graphique de $g$ donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de $g$ en $+\infty$ ?
3. On considère l'intervalle $]100; +\infty[$ . Démontrer que pour $x > 10$, $f(x)\in\ ]100,+\infty[$.
4. On considère un intervalle $]A,+\infty[$ , avec A > 0. Montrer que pour $x$ supérieur à $\sqrt{A}$ , tous les $f(x)$ appartiennent à l'intervalle $]A ; +\infty[$ .

Exercice

Soit $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=-2x+3$ Démontrez que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$

Exercice

On considère la fonction $h$ définie sur $]1,+\infty[$ par $h(x)=2+\dfrac{3}{(x-1)^2}$

1. Justifiez que $h$ est bien définie sur $]1,+\infty[$.
2. Observer la représentation graphique de $h$ donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de $h$ en $1$ ?
3. On considère l'intervalle $]1000; +\infty[$ . Donnez une condition suffisante portant sur $x$ pour que $h(x)\in\ ]1000,+\infty[$.
4. On considère un intervalle $]A,+\infty[$ , avec A > 2. Donnez une condition suffisante portant sur $x$ pour que $h(x)\in ]A ; +\infty[$ .
5. Justifiez que $\lim\limits_{x\to 1} h(x)=+\infty$.

Avec les théorèmes

Exercice

Limite en zéro Soit $f~:~x\mapsto \dfrac{|x|}{x}$. Étudiez sa limite en zéro. 

Exercice

De la géométrie pour calculer une limite
Voici une première méthode de calcul de $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}$. Pourquoi suffit-il d'étudier la limite pour des valeurs de $x>0$ ? Utilisez une figure pour obtenir que, pour tout $x\in]0,\pi/2[$,

$$\sin x< x <\tan x$$ Déduisez-en un encadrement de $\dfrac{\sin x}{x}$ pour tout $x\in]0,\pi/2[$ et concluez après avoir étudié la parité de la fonction. 

Exercices : Limites trigonométriques

En supposant connu le résultat de l'exercice précédent, calculez $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\tan x}{x}$ et $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$

Pour la 2éme, utilisez la formule bien connue  $\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$

Exercice : Limite et radicaux

Calculez :

1. $ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$
2. $ \lim\limits_{x\to +\infty}{\sqrt{x^2+1}-x} $
3. $ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}}$

Calculs stakhanovistes

 Applications directes du cours

Exercice

Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de $+\infty$:

1. $x^2-5x+6$;
2. $-4x^2+6x-7$;
3. $\dfrac{2x+1}{x-1}$;
4. $\dfrac{2x^2-3x+5}{x^3+x-3}$;
5. $\dfrac{x^3}{x^2+1}-x$;
6. $\dfrac{2x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$.

Exercice

Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de $+\infty$:

1. $\dfrac{x+\sin(x)}{-2x+\cos(x)}$;
2. $2x-\sqrt{x^2+3x-1}$;
3. $\dfrac{\sqrt{x^2-2x+3}}{x}$.

Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de $a$:

1. $\dfrac{x+4}{x^2+3x+2}$ en $a=-2$;
2. $\dfrac{x+2}{x^2+3x+2}$ en $a=-2$;
3. $\dfrac{-x^2+x+6}{2x^2-5x+2}$ en $a=2$;
4. $\dfrac{\sqrt{x+1}}{x}$ en $a=0$;
5. $\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ en $a=0$;
6. $\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ en $a=0$;
7. $\tan(x)$ en $a=\dfrac{\pi}{2}$;
8. $\dfrac{\sin(3x)}{x}$ en $a=0$.

Exercice

Soit $f$ la fonction définie par : \[f(x)=\dfrac{-x^3+2x^2-x+3}{x^2+1} \,.\]

1. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x^2+1}$.
2. Calculer la limite de $f(x)-(ax+b)$ en $+\infty$ puis en $-\infty$.
3. En déduire que la courbe représentative de $f$, $\mathcal{C}$ admet une asymptote oblique $\Delta$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
4. Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$.

 Approfondissement

Exercice

Étudier les limites des fonctions suivantes :

1. $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$ en $+\infty$;
2. $x\left(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}-1\right)$ en $+\infty$;
3. $\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+3}}{x^2-2x}$ en $2$;
4. $\dfrac{\tan(x)}{x}$ en $0$;
5. $\dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$ en $0$ avec $ab\neq0$;
6. $x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ en $+\infty$.

Exercice

Étudier selon les valeurs de $a$ et de $b$ les limites de

1. $f:x\mapsto\sqrt{x^2+5x+1}+ax+b$ en $+\infty$ et en $-\infty$
2. $g:x\mapsto\dfrac{ax^2-(2a+1)x+2}{x-1}$ en 1.

Exercice

Question de cours (Métropole, Nouvelle Calédonie novembre 2007)

1. Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a~;~+ \infty[$. Compléter la phrase suivante : « On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si ... »
2. Démontrer le théorème « des gendarmes » : soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre réel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $\ell$.