Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE 2013 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Suites

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3$ et $u_{0} = - 1$.

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Partie A

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1. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$. On obtient les résultats suivants : $$\begin{array}{ }\hline & A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline 1&\text{ Valeur de } n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 2&\text{Valeur de }u_n& - 1& 2,6 & 4,04 & 4,616 & 4,8464 & 4,9386 & 4,9754 & 4,9902 & 4,9961 & 4,9984 & 4,9994 \\ \hline \end{array}$$ Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

   a. = 0,4^n +3

   b. = $ B$ 2*0,4+3

   c. =B2*0,4+3

   d.= 0,4 ^ C 1+3

Réponse c. : =B2*0,4+3
2. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Il semble que la limite de la suite soit égale à $5$.
3. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{variables :} & p \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels,} \\ & u \text{ est un nombre réel }\\ \text{\entrée :} & \text{ saisir la valeur de } p \\ \text{initialisation :}& n \text{ prend la valeur } 0 , \\ & u \text{ prend la valeur } - 1 \\ \text{traitement :} & \text{ Tant que } |u - 5| > 10^{-p} \\ & \begin{array}{ |l} n \text{ prend la valeur } n + 1 \\ u \text{ prend la valeur } 0,4u + 3 \end{array}\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \text{ sortie :} & \text{Afficher la valeur de } n \\ \hline \end{array} $$ À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.
L'algorithme s'arrête pour $p = 7$ : avec $u_{7}= 4,9902 $, on a bien $\left|u_{7} - 5 \right| \leqslant 0,01$.

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Partie B

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On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 6 \times (0,4)^n$.

1. Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques.
D'après l'écriture du terme général $v_{n} = v_0 \times q^n$, cette suite est géométrique de premier terme $6$ et de raison $0,4$.
2. Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
Comme $0 < 0,4 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,4^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 6 \times 0,4^n = 0$. Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$.
3. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
Comme $u_{n} = 5 - v_{n}$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 5 - 0 = 5$.
4. 1. Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$.
   Cette somme est la somme des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique, on sait que cette somme est égale à : $$\begin{array}{rl}v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}&= \dfrac{1 - \text{Raison}^{\text{Nombres de termes}}}{1 - \text{Raison}}\times \text{Premier Terme}\\ &= \dfrac{1 - 0,4^{n+1}}{1 - 0,4}\times 6\\ &= 6 \times \dfrac{1 - 0,4^{n+1}}{0,6}\\&= 10 \left(1 - 0,4^{n+1} \right) \\ &= 10 - 4 \times 0,4^n. \end{array}$$
   2. En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$.
   Comme pour tout entier $n, \: u_{n} = 5 - v_{n}$, on a : $$\begin{array}{rl} u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} &= 5 - v_{0}+5 - v_{1 } +\cdots +5 - v_{n}\\ &= 5 (n + 1) - \left(v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}\right)\\ &= 5 (n + 1) - \left(10 - 4 \times 0,4^n \right) \\ &= 5n + 5 - 10 + 4\times 0,4^n \\ &= 5n - 5 + 4\times 0,4^n\\ &=5(n - 1) + 4\times 0,4^n \end{array}$$.