Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE 2013 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Probabilités

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-3}$ près.

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Partie A

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On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit $X$ la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

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1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

2. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$.
On a E$(X) = n \times p = 10 \times 0,9 = 9$.
$\sigma(X) = \sqrt{n \times p\times (1 - p)} = \sqrt{10 \times 0,9 \times 0,1} = \sqrt{0,9}$.
3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.
On veut $p(X \geqslant 8)= 1 - p( X\leq 7)$

 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
$p(X \geqslant 8) \approx \ 0,9298 \approx 0,93$

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Partie B

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Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit $M$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que $M$ suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

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1. Déterminer la probabilité $P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

2. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?
   • Méthode 1 : Comme l'espérance est égale à 80, la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à $80$ est égale à $0,5$.
   • Méthode 2 :

      

     2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
     Avec une calculatrice de type TI

     $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

     $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

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Partie C

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On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles. On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5$\,\% $des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.

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1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\% $de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

$$I_{300} = [0,025~;~0,075]$$
2. On prélève un échantillon de 300 médailles. On constate que dans cet échantillon, 24 médailles ont une épaisseur non conforme. Doit-on réviser le réglage de la machine ?
Donc la fréquence d'apparition des médailles non conformes est : $f = \dfrac{24}{300} = \dfrac{8}{100} = 0,08$.
Or $0,8 \notin [0,025~;~0,075]$, donc au seuil de confiance de 95$\,\%$ on décide de revoir le réglage de la machine.