Bac STI2D Antilles Guyane 22 juin 2015 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (3 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez  sur votre copie  le numéro de la question et la seule réponse choisie.
Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

1. Le temps d'attente en minute à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$ (exprimé en min$^{-1}$). En moyenne une personne attend à ce péage :
   
   1. 2 min
   2. 5 min
   3. 10 min
   4. 20 min
On rappelle que si $X$ suit la loi expnentielle de paramètre $\lambda$ alors $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$.
Ici le temps d'attente moyen est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0,2}=5$

La bonne réponse est le b.


2. La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 3 + \text{i}3\sqrt{3}$ est :
   
   1. $3\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   2. $6\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   3. $6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   4. $- 6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$

Forme trigonométrique de \(z =-3 + 3 \sqrt{3}i\):
Module : \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{ 3^2+\left(3\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{36}=6\)
Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}=- \dfrac{ 3}{ 6} = -\dfrac{1}{2} \\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.$$ Ainsi \(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\) convient; on a donc: $$z=\left[6;\dfrac{2\pi}{3}\right] \text{ ou } z=6\left [\cos\left (\dfrac{2\pi}{3}\right )+i\sin\left (\dfrac{2\pi}{3}\right )\right ]$$

La forme exponentielle de \(z\) est \(z= 6\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}\)

La bonne réponse est le b.


3. On considère le complexe $z = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$. Le nombre complexe $z^2$ est égal à :
   
   1. $z^2 = 2$
   2. $z^2 = 4$
   3. $z^2 =- 4$
   4. $z^2 = - 4\text{i}$
On calcule $z^2$ : $$\begin{array}{rl} z^2&=\left( \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)^2\\ &= \sqrt{2}^2 -2\sqrt 2\times \text{i}\sqrt{2}+\text{i}^2\sqrt{2}^2\\ &= 2 - 4\text{i}-2\\ &= - 4\text{i}\end{array}$$
La bonne réponse est le d.