Bac STI2D Antilles Guyane 22 juin 2015 - Correction Exercice 5

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Exercice 5 4 points

Equations différentielles

On étudie la charge d'un condensateur et l'on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

• une source de tension continue $E$ de 10 V.
• une résistance $R$ de $10^5$\: $\Omega$.
• un condensateur de capacité $C$ de $10^{-6}$ F.

On note $u$ la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension $u$ est une fonction du temps $t$ exprimé en seconde. La fonction $u$ est définie et dérivable sur $[0~;~+oo[$ ; elle vérifie l'équation différentielle suivante : \[RCu' + u = E\] où $u'$ est la fonction dérivée de $u$.

1. Justifier que l'équation différentielle est équivalente à : \[u' + 10u = 100\]
Avec $R=10^5, C=10^{-6}$ et $R=10$, la fonction $u$ vérifie l'équation différentielle suivante : $$\begin{array}{rl} RCu' + u = E & \iff 10^5\times 10^{-6}u'+ u = 10 \\ & \iff 10^{-1}u'+ u = 10 \\ &\iff u′+10⁢u=100 \end{array}$$ Ainsi, la fonction u vérifie l'équation différentielle $u′+10⁢u=100$
2. 1. Déterminer la forme générale $u(t)$ des solutions de cette équation différentielle.
   Les solutions de l'équation différentielle $y′=a⁢y+b$ sont les fonctions définies sur $\mathbb R$ par $x\mapsto k⁢e^{a⁢x}-\frac{b}{a}$, où $k$ est une constante réelle quelconque. Ici $u′+10⁢u=100 \iff u’= -10u+100$ est du type $y′=a⁢y+b$ où $a= -10$ et $b= 100$, on a $-\frac{b}{a}= -\frac{100}{-10}= 10$.
   Les solutions sur $[0;+\infty[$ de l'équation différentielle $u′=- 10⁢u+100$ sont les fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par $u(⁡t)=k⁢e^{-10t}+10 $ où $k$ est une constante réelle quelconque.
   2. On considère qu'à l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l'unique fonction $u$ tel que $u(0) = 0$.
   La condition $u⁡(0)=0$ équivaut à $k⁢e^0+10=0$ d'où $k=-10$
   La fonction $u$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $u(⁡t)=-10⁢e^{-10t}+10 $
   3. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en $+ \infty$ de la fonction $u$ ainsi obtenue. En donner une interprétation.
   $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{t \to +\infty}~(-10t)=-\infty\\ \lim\limits_{X \to-\infty}~e^X=0 \end{array}\right\} \quad \text{ Par composée } \lim\limits_{t \to +\infty}~e^{-10t}=0$ puis $\lim\limits_{t \to +\infty}~10-10e^{-10t}=10$
   Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty}~u(t)=10$.
   À partir d'un certain temps, la tension aux bornes du condensateur est très proche de 10 volts.
3. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $u$ qui vient d'être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées. On appelle $T$ le temps de charge en seconde pour que $u(T)$ soit égal à $95$% de $E$.
   1. Déterminer graphiquement le temps de charge $T$.
   
   Le temps de charge T est d'environ 0,3 secondes.
   2. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
   $$\begin{array}{rl} -10⁢e^{-10t}+10 = 0,95\times 10 &\iff -10⁢e^{-10t} = -0,5 \\ &\iff ⁢e^{-10t} = 0,05 \\ &\iff \ln \left( ⁢e^{-10t}\right) = \ln(0,05 ) \\ &\iff -10t = \ln(0,05 ) \\ &\iff t = -0,1 \ln(0,05 ) \\ \end{array}$$
   Le temps de charge en seconde pour que $u⁡(T)$ soit égal à 95 % de $E$ est $t = -0,1 \ln(0,05 )$ soit environ 0,3 secondes.
4. Sans modifier les valeurs respectives de $E$ et de $C$, déterminer la valeur de $R$ afin que le temps de charge $T$ soit multiplié par $2$.
   • Soit $v$ la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur, la fonction $v$ vérifie l'équation différentielle suivante : $$R\times 10^{-6}⁢v′+v=10\iff v′=-\frac{10^6}{R⁢}v+\frac{10^7}{R}$$
   • Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par $v⁡(t)=k⁢e^{-\frac{10^6}{R⁢}t}+10$ où $k$ est une constante réelle quelconque.
   • La condition $v(⁡0)=0$ équivaut à $k⁢e^0+10=0$ d'où $k=-10.$
   • Par conséquent, la fonction $v$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $v⁡(t)=-10e^{-\frac{10^6}{R⁢}t}+10$ Le temps de charge $T$ est multiplié par 2 pour $R$ solution de l'équation $$\begin{array}{rl} -10e^{- \frac{10^6}{R}\times 2T }+10 = 10-10 e^{-10T}&\iff e^{- \frac{10^6}{R}\times 2T } = e^{-10T}\\ &\iff - \frac{10^6}{R}\times 2T =-10T \\ &\iff \\ &\iff - \frac{10^6}{R}= -10\\ &\iff R= 2\times 10^5 \end{array}$$
Le temps de charge T est multiplié par 2 avec une résistance $R$ de $2\times 10^5\;\Omega$.