Bac STI2D Antilles Guyane 22 juin 2015 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points

Probabilités

Étude de la production de plats préparés sous vide.
Les questions 1, 2 et 3 de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$
L'entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide. L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de cette production en exploitant divers outils mathématiques.

1. Sur les emballages, il est précisé que la masse des plats préparés est de $400$ grammes. Un plat est conforme lorsque sa masse, exprimée en gramme, est supérieure à $394$ grammes. On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque plat prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en gramme. On suppose que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale d'espérance $400$ et d'écart type $5$.
   1. Déterminer la probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre $394$ et $404$ grammes.
   2. Déterminer la probabilité qu'un plat soit conforme.
2. Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de $300$. On arrondit la probabilité de l'évènement « un plat préparé prélevé au hasard dans la production n'est pas conforme » à $0,12$. On prélève au hasard $300$ plats dans la production. La production est assez importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $300$ plats, associe le nombre de plats préparés non conformes qu'il contient.
   1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ et en donner une interprétation.
   3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de $300$ plats prélevés au hasard, au moins $280$ plats soient conformes.
3. Le fabricant annonce sur les étiquettes de ses produits une proportion de produits non conformes de 12%. On prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 1200 dans lequel $150$ plats se révèlent être non conformes.
   1. Quelle est la fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé ?
   2. Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence de plats non conformes dans un échantillon de taille 1200 .
      Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95$% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
   3. L'échantillon est-il représentatif de la production du fabricant ? Justifier.