Bac STI2D Antilles-Guyane 16 juin 2016 - Correction Exercice 1

Correction de l'exercice 1 (4 points)

Un QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse
i désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$
ln désigne la fonction logarithme népérien.

1. La forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{1 + 2\text{i}}{3 - \text{i}}$ est
   
   • a.                 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{10}\text{i}$
   • b.               $\dfrac{1}{10} + \dfrac{7}{10}\text{i}$
   • c.             $\dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{8}\text{i}$
   • d.           « Aucune des réponses a.-b.-c. ».
Pour déterminer la forme algébrique d'un quotient , on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$\begin{array}{rlc} \dfrac{1 + 2\text{i}}{3 - \text{i}}&=\dfrac{(1 + 2\text{i})(3 + \text{i})}{(3 - \text{i})(3 + \text{i})}& \\ &=\dfrac{3+\text{i}+6\text{i}+2\text{i}^2}{3 ^2+1 ^2}& \text{ car } z\overline{z}= a^2+b^2 \\ &= \dfrac{3+8\text{i}+7\text{i}+2\times(-1)}{10}& \text{ car i} ^2=-1 \\ &=\dfrac{1+7\text{i} }{10}&\\ &= \dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{10}\text{i}&\\ \end{array}$$ Conclusion : « Réponse  b . »
2. La forme exponentielle du nombre complexe $2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ est
   
   • a.        $4\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$
   • b.      $- 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$
   • c.    $4\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$
   • d.  $16\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$
   • Module : \begin{align*} |z| &= \sqrt{ 2 ^2+\left (2\sqrt 3\right )^2}\\ &= \sqrt{4+12}\\ &=4 \end{align*}
   • Argument :
     $$\left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\dfrac{a}{r}=\dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{2}\\ \sin \theta=\dfrac{b}{r}=\dfrac{2\sqrt 3}{4}= -\dfrac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right.$$ Donc $\theta = -\dfrac{ \pi}{3}$ convient .
On déduit donc \begin{align*} z &=\left [4 ;-\dfrac{\pi}{3} \right ] \\ &= 4\left (\cos\left (-\dfrac{ \pi}{3}\right )+\text{i} \sin\left (-\dfrac{\pi}{3}\right )\right ) \\ &=4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} \end{align*} Conclusion : « Réponse  c . »
3. Pour tout réel $a$ strictement positif, $\ln a + \ln 2a$ est égal à :
   
   • a.   $\ln (3a)$
   • b.  $3\ln a$
   • c.   $\ln \left(2a^2\right)$
   • d.  $2\ln \left( a^2\right)$
Pour tout réel $a$ strictement positif : \begin{align*} \ln a + \ln 2a&= \ln\left( a\times 2a \right)\\ &= \ln\left( 2a^2\right)\\\end{align*} Conclusion : « Réponse  c . »
4. Une solution $f$ de l'équation différentielle $3y'' + 12y = 0$ est la fonction définie pour tout réel $t$ par :
   
   • a.   $f(t) = \sin (4t)$
   • b.  $f(t) = \sin (2t)$
   • c.   $f(t) = 2\sin (3t)$
   • d.  « Aucune des réponses a.-b.-c. ».
$3y'' + 12y = 0\iff y''+4y=0 $ en divisant par 4.
Les solutions de l'équation différentielle $y''+4y=0$ avec $\omega =2$ sont les fonctions $f$ de la forme : $$f(t)= A\cos(2t)+ B\sin(2t)$$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles quelconques.
En choisissant $A=0$ et $B=1$, on montre que la fonction $f$ dénie sur $\mathbb R$ par $f(t) = \sin (2t)$ est une solution de $3y'' + 12y = 0$. Conclusion : « Réponse  b . »