Bac STI2D Antilles-Guyane 16 juin 2016 - Correction Exercice 3

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Probabilités

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.
Un manufacturier de pneumatiques produit des pneus d'avions en grande quantité. Il s'engage à livrer des produits spécifiques aux avionneurs de masse maximum garantie de 124 kg. Ces pneus doivent supporter une charge nominale de 10 tonnes, des vitesses pouvant aller jusqu'à $420$~km.h$^{-1}$ et des températures instables allant de $- 40$ °C (en altitude) à $250$ ° C (au moment du décollage).

Partie A

On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque pneu prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en kilogramme. On admet que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 121,37$ et d'écart type $\sigma = 0,42$.

1. Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg comprise entre $120,95$ et $121,79$.
D'après le cours ou avec la calculatrice, on trouve : $$P(121,37-0,42\leq M\leq 121,37+0,42) =P(120,95\leq M\leq 121,79)\approx 0,683$$

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

Arrondie au millième près, la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg comprise entre 120,95 et 121,79 est égale à 0,683.
2. Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg supérieure à $122,63$.

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg supérieure à 122,63 est égale à 0,001.

Partie B

Un pneu trop lourd entraîne une augmentation de la consommation du kérosène. Lorsque la masse d'un pneu reçu par une compagnie aérienne dépasse 121,9 kg cela entraîne des pénalités financières pour le manufacturier. Sur la chaîne de fabrication, on prélève de façon aléatoire un échantillon de $36$ pneus et on constate que $2$ d'entre eux ont une masse qui dépasse $121,9$~kg.

1. Quelle est la fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse dépasse $121,9$ kg ?
La fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse dépasse 121,9 kg est $f=\dfrac{2}{36}\approx 0,056$
2. Déterminer l'intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% de la proportion de pneus dont la masse dépasse $121,9$ kg dans la production.
   On rappelle que lorsqu'une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance à $95$% de la proportion dans la population est donné par : \[I = \left[f- 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right].\]

La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  $=\3  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance ne sont pas réunies.

En effet on a  : $$n \geq 30\;;\; \text{ mais } n \times \8< 5 $$

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[\9 = \left[\8 - 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}}~;~\8 + 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}} \right]\]
La fréquence est $\8=\1$.
L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 

 

Comme un intervalle de confiance d'une proprtion p est inclus dans l'intervalle 01, il est préférable de considérer que : un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg dans la production est $I\approx [0;0,131]$
3. Donner une interprétation du résultat précédent.
La proportion $p$ de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg dans la production est comprise entre 0 et 0,131.