Bac STI2D Antilles-Guyane 16 juin 2016 - Correction de l'Exercice 4

Exercice 4 6 points

Suites

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-2}$.
Par souci de santé, d'environnement ou simplement pour le plaisir du goût, l'alimentation biologique s'invite de plus en plus dans les assiettes des français. Deux fermes auvergnates décident de se convertir dans la production biologique.

Partie A

En 2015, la ferme Bernard décide de cultiver 2 hectares selon le mode de production biologique et d'augmenter cette surface de production de $20$% par an les années, suivantes. On note $S_n$ la surface, en hectare, cultivée selon le mode de production biologique, durant l'année « 2015 + n ».

1. Quelle sera la surface cultivée en hectare selon le mode de production biologique durant l'année 2016, puis durant l'année 2017 ?
On a $S_0=2$ d'où $S_1=2\times \left (1+\dfrac{20}{100}\right )=2,4$ et $S_2=2,4\times 1,2=2,88$
La surface cultivée selon le mode de production biologique sera de 2,4 hectares durant l'année 2016, et de 2,88 hectares durant l'année 2017.
2. Quelle est la nature de la suite $\left(S_n\right)$ ? Justifier
La surface de production biologique augmente de 20 % par an d'où : $$\begin{array}{rl} S_{n+1}& = S_n+\dfrac{20}{100}S_n \\ & = S_n\times \left (1+\dfrac{20}{100}\right )\\ &= 1,2 S_n \end{array}$$ Pour tout entier naturel $n$, on a $S_{n+1}=1,2\times S_n$ donc la suite $\left (S_n\right )$ est une suite géométrique de raison 1,2.
3. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
$\left (S_n\right )$ est une suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme $S_0=2$ d'où pour tout entier naturel $n$, $$\begin{array}{rl} S_n &= q^n\times S_0 \\ & = 1,2^n \times 2\\ \end{array}$$ $S_n =2\times 1,2^n$.
4. La ferme Bernard dispose d'une surface de $10$ hectares. Durant quelle année la totalité de la ferme sera cultivée selon le mode de production biologique ? Justifier par le calcul.
$$\begin{array}{rll} S_n = 10 &\iff 2\times 1,2^n = 10& \\ &\iff 1,2^n = 5& \text{ on divise par } 2 \\ & \iff \ln\left ( 1,2^n\right ) =\ln 5& \text{ on applique } \ln\\ & \iff n\ln\left ( 1,2 \right ) =\ln 5& \text{ car } \ln\left ( a^n\right ) =n\ln a\\ & \iff n = \dfrac{\ln 5}{\ln\left ( 1,2 \right )}\approx 8,83 & \text{ on divise par } \ln\left ( 1,2 \right )\\ \end{array}$$ La totalité de la ferme sera cultivée selon le mode de production biologique durant l'année 2024.

Partie B

En 2015, la ferme Dupont décide de cultiver 1 hectare, selon le mode de production biologique et d'augmenter cette surface de $0,8$ hectare par an. On note $u_n$ la surface cultivée selon le mode de production biologique, durant l'année « 2015 + n », exprimée en hectare. La production biologique impose aux sols un temps de repos pour se reconstituer. La ferme Dupont dispose d'une surface de $18$~hectares. Afin de garder un certain bénéfice, la ferme Dupont limite sa production biologique à $70$% de la surface totale de la ferme chaque année. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{ |c|l|}\hline \text{Variables}&\\ & K \text{ un entier naturel}\\ & U \text{ un nombre réel }\\ \text{Début}&\\ & U \text{ prend la valeur 1}\\ &\hspace{0,6cm}\begin{array}{|l} \text{Pour } K \text{ allant de 1 à 10 }\\ U \text{ prend la valeur } U + 0,8 \\ \text{FinPour} \end{array}\\ &\text{ Afficher } U \\ \text{Fin}&\\ \hline \end{array}$$

1. Tester cet algorithme. Pour cela on recopiera et complétera le tableau suivant donnant les valeurs de $K$ et $U$ : $$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \text{Valeur de } K & & 1& \ldots\\ \hline \text{ Valeur de }U & 1 & \ldots & \ldots\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{ Valeur de } K&X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 9 & 9 & 10 \\ \hline \text{ Valeur de } U & 1& 1,8 &2,6 &3,4 &4,2& 5& 5,8& 6,6& 7,4& 8,2& 9 \\ \hline \end{array}$$
2. Quelle est la valeur finale affichée par cet algorithme? À quoi correspond-elle ?
La valeur affichée est 9. En 2025 la surface de production biologique sera de 9 hectares.
3. La limite fixée par la production biologique est-elle atteinte pour cette apnée-là ?
En 2025, la limite fixée par la production biologique n'est pas atteinte.
4. Réécrire l'algorithme afin qu'il affiche l'année à partir de laquelle la limite imposée par une production biologique sera atteinte.
$$\begin{array}{ |c|l|}\hline \text{Variables}&\\ & K \text{ un entier naturel}\\ & U \text{ un nombre réel }\\ \text{Début}&\\ & U \text{ prend la valeur 1}\\ &\hspace{0,6cm}\begin{array}{|l} \text{ Tant que } U< 12,6 \\ U \text{ prend la valeur } U + 0,8 \\ N \text{ prend la valeur } N+1\\ \text{Fin Tant que} \end{array}\\ &\text{ Afficher } 2015+K \\ \text{Fin}&\\ \hline \end{array}$$