Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2013 - Correction de l'Exercice 2
Exercice 2 4 points
Les quatre questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée.
Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère
- les points A $(12 ; 0 ; 0)$, B $( 0 ; -15 ; 0)$, C $( 0 ; 0 ; 20)$, D $(2 ; 7 ; - 6)$, E $(7 ; 3 ; -3)$;
- le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x + y - 2z - 5 = 0 $
- Affirmation 1
Une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathscr{P}$ et passant par le point A est : \[2x + y + 2z - 24 = 0\] - Affirmation 2
Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\{\begin{array}{l c l}\\x&=&9 - 3t\\y&=&0 \\z&=&5 + 5t\end{array}\right.t\in\mathbb{R}$. - Affirmation 3
La droite (DE) et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun. - Affirmation 4
La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).
Affirmation 1 : FAUSSE
Une équation cartésienne d’un plan parallèle à $\mathscr{P}$ est de la forme : $2x+ y -2z+d=0$
Il passe par $A$ donc : $2 \times 12 + d = 0$ et $d = -24$
On obtient donc $2x+y\color{Red}{-}2z-24=0$ et non $2x+y\color{Red}{+}2z-24=0$
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Affirmation 2 : VRAIE
Regardons si les coordonnées des points $A$ et $C$ vérifient l’équation fournie.
Si $t=-1$ alors $\begin{cases} x= 9 – 3 \times (-1) = 12 \\\\y= 0 \\\\z=5+5\times(-1) = 0 \end{cases}$. C’est bon pour le point $A$.
Si $t=3$ alors $\begin{cases} x= 9 – 3 \times 3 = 0 \\\\y= 0 \\\\z=5+5\times 3= 20 \end{cases}$. C’est bon pour le point $C$.
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Affirmation 3 : FAUSSE
$\vec{DE}(5;-4;3)$. Une équation paramétrique de $(DE)$ est donc :
$$\begin{cases} x = 2 +5t \\\\y=7-4t \qquad t \in \mathbb{R} \\\\z=-6+3t \end{cases}$$
Injectons ces équations dans celle de $\mathscr{P}$ :
$$\begin{cases} & 2(2+5t) +(7-4t)-2(-6+3t)-5=0 \\\\
& \Leftrightarrow 4 + 10t + 7 – 4t + 12 – 6t – 5 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow 11 + 12 – 5 = 0 \quad \text{impossible}
\end{cases}
$$
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Affirmation 4 : VRAIE
$\vec{AB}(-12;-15;0) \quad \vec{AC}(-12;0;20) \quad \vec{DE}(5;-4;3)$
$\vec{AB} $ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Ce sont donc $2$ vecteurs de base de $(ABC)$.
$\vec{AB}.\vec{DE} = -12 \times 5 – 15 \times (-4) + 0 = -60 + 60 = 0$
$\vec{AC}.\vec{DE} = -12 \times 5 0 + 20 \times 3 = -60 + 60 = 0$
Donc le vecteur $\vec{DE}$ est orthogonal à $2$ vecteurs de base de $(ABC)$.
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