Baccalauréat S Polynésie 14 juin 2017 - Exercice 3

Exercice 3 4 points

Commun à tous les candidats

Géométrie

Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH$_4$ de la façon suivante :

• Les noyaux d'atomes d'hydrogène occupent les positions des quatre sommets d'un tétraèdre régulier.
• Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d'hydrogène.

L'objectif est de déterminer une mesure de l'angle entre deux liaisons carbone--hydrogène. Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

1. Justifier qu'on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube ABCDEFGH en positionnant deux atomes d'hydrogène sur les sommets A et C du cube et les deux autres atomes d'hydrogène sur deux autres sommets du cube. Représenter la molécule dans le cube donné en annexe page Annexe .


Dans la suite de l'exercice, on pourra travailler dans le repère $\left(\text{A} ; \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.

2. Démontrer que l'atome de carbone est au centre $\Omega$ du cube.
3. Déterminer l'arrondi au dixième de degré de la mesure de l'angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène, c'est-à-dire l'angle $\widehat{A\Omega C}$.

Annexe ( A rendre avec la copie )