Baccalauréat S Polynésie 14 juin 2017 - Spécialité

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Une personne a mis au point le procédé de cryptage suivant :

• À chaque lettre de l'alphabet, on associe un entier $n$ comme indiqué ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J&K &L &M\\\hline 0 &1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline\hline N &O &P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\hline 13&14 &15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\\hline \end{array}$$
• On choisit deux entiers $a$ et $b$ compris entre $0$ et $25$.
• Tout nombre entier $n$ compris entre 0 et 25 est codé par le reste de la division euclidienne de $an+ b$ par 26.

Le tableau suivant donne les fréquences $f$ en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Lettre&A &B &C &D &E &F &G &H &I &J&K &L &M\\\hline Fréquence&9,42&1,02&2,64&3,38&15,87&0,94&1,04&0,77&8?41&0,89&0,00&5,33&3,23\\\hline\hline Lettre&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\hline Fréquence&7,14&5,13&2,86&1,06&6,46&7,90&7,26&6,24&2,15&0,00&0,30&0,24&0,32\\\hline \end{array}$$

Partie A

Un texte écrit en français et suffisamment long a été codé selon ce procédé. L'analyse fréquentielle du texte codé a montré qu'il contient 15,9 % de O et 9,4 % de E. On souhaite déterminer les nombres $a$ et $b$ qui ont permis le codage.

1. Quelles lettres ont été codées par les lettres O et E ?
2. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont solutions du système $$\begin{cases}4a + b\equiv 14 [26] \\b \equiv 4 [26]. \end{cases}$$
3. Déterminer tous les couples d'entiers $(a , b)$ ayant pu permettre le codage de ce texte.

Partie B

1. On choisit $a = 22$ et $b = 4$.
   1. Coder les lettres K et X.
   2. Ce codage est-il envisageable ?
2. On choisit $a = 9$ et $b = 4$.
   1. Montrer que pour tous entiers naturels $n$ et $m$, on a : $$m \equiv 9 n + 4 [26]\iff n\equiv 3 m + 14 [26]$$
   2. Décoder le mot AQ.