Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives $(0~;~1)$ et $(-1~;~3)$.
Courbe On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb R$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$. On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.\]

1. 1. Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A.
   $f(0) = 0 + 1 + a \times 0 \times 1 = 1$. donc $A(0;1)$ appartient bien à $\mathscr{C}$.
   2. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
   Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est : $$\begin{array}{ll} m & = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\ & =\dfrac{3 - 1}{-1 - 0} \\\ & = -2 \end{array}$$
   Le coefficient directeur de la droite (AB) est -2.
   3. Démontrer que pour tout réel $x$, \[f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
   La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
   $\begin{cases}u(x) = ax\\v(x)=\text{e}^{-x^2}\end{cases}$ donc $\begin{cases}u'(x) = a \\v'(x)=-2x \text{e}^{-x^2}\end{cases}$ $$f'(x) = 1 + a\text{e}^{-x^2} – 2x \times ax\text{e}^{-x^2} = 1 – a(2x^2 – 1)\text{e}^{-x^2}$$
   4. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. Déterminer la valeur du réel $a$.
   Si la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en $A$ cela signifie donc que $f'(0) =m$.
   Par conséquent $f'(0) = 1 + a = -2$ soit $a= -3$.
2. D'après la question précédente, pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
   1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~0],\: f(x) > 0$.
   si $x \in ]-1;0[$ alors $x+1 \in ]0;1[$ et $-3x \in ]0;3[$.
   la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$ donc sur $]-1;0[$ en particulier.
   Par conséquent $\left.\begin{array}{r} -3x \geq 0 \\ \text{e}^{-x^2} \geq 0 \end{array}\right\}$ par produit on obtient $-3x\text{e}^{-x^2} > 0$
   et donc $\left.\begin{array}{r} -3x\text{e}^{-x^2} \geq 0 \\ 1 > 0 \end{array}\right\}$ par somme $f(x) > 0$.
   
   2. Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$.
   $$\begin{array}{lll} \text{ Si } x < -1 & \text{ alors } x^2 > 1& \text{ car } x\mapsto x^2 \text{ est strictement décroissante sur } \mathbb R^-\\ & 2x^2 > 2& \text{ en multipliant par } 2> 0\\ & 2x^2 -1 > 1> 0 & \text{ en ajoutant } -1 \\ & 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}> 0 & \text{ en multipliant par } 3\text{e}^{- x^2}> 0 \\ & 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}> 1 & \text{ en ajoutant } 1 \\ & f'(x)< 0 & \\ \end{array}$$
   
   3. Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$. Justifier que $c < - \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$.
   D'après le théorème de la bijection :
   
   • $\1 $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = [\2 ; \3]$.
   • $\1$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = [\2 ; \3]$.
   • $\1\left(\2\right)=\4$ et $\1\left(\3\right)=\5$
   $\1$ réalise donc une bijection de $\left[\2;\3\right]$ sur $\left[\4;\5\right]$
   $\6$ est compris entre $\1\left(\2\right)$ et $\1\left(\3\right)$, en effet $\1\left(\2\right) < \6 $ et $\1\left(\3\right) > \6 $
   donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $[\2 ; \3]$ .

    

   \}\{2\}-\dfrac\{1\}\{2\}|3\text\{e\}^\{ -1\}|0|\alpha}
   $f\left(-\dfrac{3}{2}+2\times 10^{-2} \right) \approx 0,02 >0$. Donc $c < -\dfrac{3}{2}+2\times 10^{-2}$
3. On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par : \[c \leqslant x \leqslant 0\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\]
   1. Ecrire $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale.
   Comme $f$ est continue et positive sur $[0; c]$.
   On a donc $\mathscr{A} = \displaystyle \int_c^0 f(x) \mathrm{d}x$.
   2. On admet que l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-3}$ près. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$.
   Comme $f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}== x + 1 + \dfrac{3}{2}\times (-2 x)\text{e}^{- x^2}$
   On a mis en évidence la forme $u'e ^u $ qui a pour primitive $e ^u $. Une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb R$ est la fonction $F$ définie sur $\mathbb R$ par
   $$F(x) = \dfrac{x^2}{2} + x + \dfrac{3}{2}\text{e}^{-x^2}$$ $$\begin{array}{ll} I & = \displaystyle \int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x) \mathrm{d}x \\ & = F(0) – F\left(-\dfrac{3}{2} \right) \\ & = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} \\ & = \dfrac{15}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} ~\text{u.a.} \end{array}$$
   $I = \dfrac{15}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} ~\text{u.a.}$