Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans le cadre d'une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi. On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour :

• 20% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,
• 10% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.

On suppose qu'au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose $a_{0} = 0,5$ et $b_{0} = 0,5$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de $n$ jours, après fermeture de la porte. On désigne par $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

1. Soit $n$ un entier naturel.
   1. Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$.
   On a $a_1 = 0,8a_0+0,1b_0 = 0,8 \times 0,5 + 0,1 \times 0,5 = 0,45$ et $b_1 = 1 – a_1 = 0,55$.
   Donc $U_1=\begin{pmatrix}0,45\\\\0,55 \end{pmatrix}$
   $\quad$
   
   2. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
   On a donc $a_{n+1} = 0,8a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,2a_n+0,9b_n$.
   $\quad$
   
   3. En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera. On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$.
   Si on pose $M=\begin{pmatrix} 0,8&0,1 \\\\0,2&0,9 \end{pmatrix}$ on a ainsi $U_{n+1}=MU_n$
   
   4. Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.
   Au bout de $3$ jours on a $U_3 = M^3U_0$ $= \begin{pmatrix}0,3905\\\\0,6095\end{pmatrix}$
2. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1& 1\\2& -1\end{pmatrix}$.
   1. Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$.
   $P^2 = \begin{pmatrix}3&0\\\\0&3\end{pmatrix}$
   Par conséquent $P \times P = 3I_2$ cela signifie donc que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$
   
   2. Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   $P^{-1}MP = \begin{pmatrix}1&0\\\\0&0,7 \end{pmatrix} = D$
   
   3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $M^n = P D^n P^{- 1}$. A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient \[M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{1 - 0,7^n}{3} \\ \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.\]
   Démontrons ce résultat par récurrence
   Initialisation : si $n=1$ alors $P^{-1}MP = D$ soit $M=PDP^{-1}$
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n = PD^nP^{-1}$.
   Donc $ M^{n+1} = M\times M^n = PDP^{-1} \times PD^n\times P^{-1} = PDD^nP^{-1} = PD^nP^{-1}$.
   La propriété est vraie au rang $n$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
   Donc pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, on a $M^n = PD^nP^{-1}$.
3. En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?
On a $U_{n}=M^nU_0 = \begin{pmatrix} 0,5 \times \dfrac{1 + 2\times 0,7^n}{3} + 0,5 \times \dfrac{1 – 0,7^n}{3} \\\\0,5 \times \dfrac{2 – 2\times 0,7^n}{3} + 0,5 \dfrac{2 + 0,7^n}{3} \end{pmatrix}$
$-1<0,7<1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,7^n = 0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} b_n = \dfrac{2}{3}$.
Sur le long terme la cage A contiendra donc $\dfrac{1}{3}$ de la population des souris et la cage B les deux tiers.