Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

• Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
  On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.
  On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
• Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10 minutes.

1. Déterminer la valeur de $\lambda$.
D’après l’énoncé on a $E(X) = 10 = \dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda = 0,1$.

2. Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20 minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
On cherche à calculer :
$$\begin{array}{ll} P(10 \le X \le 20) & = \text{e}^{-0,1 \times 10}- \text{e}^{-0,1 \times 20} \\ & = \text{e}^{-1} - \text{e}^{-2} \\ & \approx 0,2325 \end{array}$$
3. Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 5 minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
On cherche donc à calculer :
$$\begin{array}{ll} P_{X \ge 10}(X \ge 10 + 5) & = P(X \ge 5) \\ &= \text{e}^{-5\times 0,1} \\ &=\text{e}^{-0,5} \\ & \approx 0,6065 \end{array}$$

Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70 places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$.
On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.
On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale.

1. Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$.

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$


La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(n;0,8)$ d’espérance $E(Y) = 0,8n$ et d’écart-type $\sigma = \sqrt{n\times 0,8 \times 0,2} = 0,4\sqrt{n}$

2. Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$.
   Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice.
On a $p_1 = P(Z \le 71) = 0,5 + P(64,8 \le Z \le 71) \approx 0,9575$ 


2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

b/>
3. On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Z \leqslant 70\}$.
   Le restaurant a reçu 81 réservations. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?
On cherche donc à calculer $P(Y > 70) = 1 – P(Y \le 70) = 1 – p_1 \approx 0,0425$

 

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Exercice 3

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