Baccalauréat S Antilles Guyane 18 juin 2019 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

 

Partie A

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{a}{1 + \text{e}^{-bx}}.\] La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(O ; 0,5). La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A passe par le point B(10; 1).

1. Justifier que $a = 1$. On obtient alors, pour tout réel $x \geqslant 0$, \[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-bx}}.\]
Le point $A(0;0,5)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
Donc
$\begin{align*} f(0)=0,5&\iff \dfrac{a}{1+1} =0,5 \\
&\iff a=1\end{align*}$
$\quad$
2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$ \[f'(x) = \dfrac{b\text{e}^{-bx}}{\left(1 + \text{e}^{-bx}\right)^2}.\]
Pour tout réel $x\geq 0$ on a $f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-bx}}$
Donc :
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{-b\text{e}^{-bx}}{\left(1+\text{e}^{-bx}\right)^2 }\\
&=\dfrac{b\text{e}^{-bx}}{\left(1+\text{e}^{-bx}\right)^2 }\end{align*}$
$\quad$

3. En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ passe également par le point $B(10;1)$.
Son coefficient directeur est donc $a=\dfrac{1-0,5}{10-0}=0,05$.
On a également $a=f'(0)$.
Or $f'(0)=\dfrac{b}{(1+1)^2}=\dfrac{b}{4}$
Par conséquent $\dfrac{b}{4}=0,05\iff b=0,2$
$\quad$

 

Partie B

La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[p(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0,2x}}.\] Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1^erjanvier 2000. Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années. Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1^er janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003.

1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
2. 1. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
   Au 1^er janvier 2010 on a $x=10$
   Or $p(10)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-2}}\approx 0,88$.
   Ainsi, environ 88% des individus sont équipés au 1^er janvier 2010.
   $\quad$
   2. Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
   La fonction $p$ correspond à la fonction $f$ pour $b=0,2$.
   La fonction $p$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et $p'(x)=\dfrac{\text{e}^{-0,2x}}{\left(1+\text{e}^{-0,2x}\right)^2}$.
   La fonction carré est positive et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$.
   Par conséquent, pour tout réel $x\geq 0$ on a $p'(x)>0$ et la fonction $p$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   
   3. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
   $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0$.
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-0,2x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}p(x)=1$.
   $\quad$
3. On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95 %, le marché est saturé. Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se produit.
On veut résoudre l’inéquation
$\begin{align*} p(x)>0,95 &\iff \dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}}>0,95 \\
&\iff 1+\text{e}^{-0,2x}<\dfrac{1}{0,95} \\
&\iff \text{e}^{-0,2x}<\dfrac{0,05}{0,95} \\
&\iff -0,2x<\ln \dfrac{1}{19} \\
&\iff x>-5\ln \dfrac{1}{19}\end{align*}$
Or $-5\ln \dfrac{1}{19} \approx 14,72$.
C’est au cours de l’année 2014, entre août et septembre, que le marché sera saturé.
$\quad$
4. On définit la proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010 par \[m = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_8^{10} p(x)\:\text{d}x.\]
   1. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$, \[p(x) = \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1 + \text{e}^{0,2x}}.\]
   Pour tout réel $x\geq 0$ on a :
   $\begin{align*} p(x)&=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}} \\
   &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\text{e}^{0,2x}}} \\
   &=\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^{0,2x}+1}{\text{e}^{0,2x}}} \\
   &=\dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1+\text{e}^{0,2x}}\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire une primitive de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
   Pour tout réel $x$ on a $p(x)=\dfrac{1}{0,2}\times \dfrac{0,2\text{e}^{0,2x}}{1+\text{e}^{0,2x}}$.
   On a donc une expression de la forme $\dfrac{u’}{u}$.
   Une primitive de la fonction $p$ sur cet intervalle est donc la fonction $P$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $P(x)=\dfrac{\ln\left(1+\text{e}^{0,2x}\right)}{0,2}$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.
   Ainsi :
   $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_8^{10}p(x)\text{d}x \\
   &=\dfrac{1}{2}\left(P(10)-P(8)\right)\\
   &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{0,2}\left(\ln\left(1+\text{e}^{2}\right)-\ln\left(1+\text{e}^{1,6}\right)\right)\\
   &=\dfrac{1}{0,4}\ln\dfrac{1+\text{e}^{2}}{1+\text{e}^{1,6}}\\
   &\approx 0,86\end{align*}$
   $\quad$