Baccalauréat S Antilles Guyane 18 juin 2019 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 6 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On étudie l'évolution quotidienne des conditions météorologiques d'un village sur une certaine période. On suppose que, pour un jour donné, il existe trois états météorologiques possibles :«ensoleillé », «nuageux sans pluie» et «pluvieux ». On sait que:

• si le temps est ensoleillé un jour donné, la probabilité qu'il le soit encore le lendemain est $0,5$ et celle qu'il soit pluvieux est $0,1$ ;
• si le temps est nuageux sans pluie un jour donné, la probabilité qu'il le soit encore le lendemain est $0,2$ et celle qu'il soit pluvieux est $0,7$ ;
• si le temps est pluvieux un jour donné, la probabilité qu'il le soit encore le lendemain est $0,6$ et celle qu'il soit ensoleillé $0,2$.

Pour tout entier naturel $n$, on note les évènements:

• $A_n$ :«le temps est ensoleillé au bout de $n$ jours» ;
• $B_n$:«le temps est nuageux sans pluie au bout de $n$ jours» ;
• $C_n$:«le temps est pluvieux au bout de $n$ jours».

Pour tout entier naturel $n$, on note respectivement $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités des évènements $A_n$, $B_n$ et $C_n$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$,  $a_n + b_n + c_n = 1$. On suppose qu'initialement, le temps est ensoleillé. On a donc $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

1. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,  $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,1b_n + 0,2c_n$.
   On peut représenter la situation à l’aide du graphe suivant :
   
   Donc, pour tout entier naturel $n$ on a :
   $a_{n+1}=0,5a_n+0,1b_n+0,2c_n$
   $\quad$
   
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,3a_n - 0,1b_n + 0,2$. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1} = 0,2a_n + 0,2$.
   On sait également que, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1\iff c_n=1-a_n-b_n$.
   Donc :
   $\begin{align*} a_{n+1}&=0,5a_n+0,1b_n+0,2\left(1-a_n-b_n\right) \\
   &=0,5a_n+0,1b_n+0,2-0,2a_n-0,2b_n\\
   &=0,3a_n-0,1b_n+0,2\end{align*}$
   $\quad$
2. On considère les matrices \[M = \begin{pmatrix}0,3& -0,1\\0,2&0\end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix},\quad R \begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}.\]
   1. Justifier que pour tout entier naturel $n$,  $U_{n+1} = MU_n + R$.
   On a donc, pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1}=0,3a_n-0,1b_n+0,2\\b_{n+1}=0,2a_n+0\times b_n+0,2\end{cases}$
   $\iff \begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&-0,1\\0,2&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}$.
   Par conséquent $U_{n+1}=MU_n+R$
   $\quad$
   
   2. Soit $Y = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta \end{pmatrix}$ tel que $Y = MY + R$. Démontrer que $\alpha = \beta = 0,25$.
   On a :
   $\begin{align*} Y=MY+R&\iff \begin{cases} \alpha=0,3\alpha-0,1\beta+0,2\\\beta=0,2\alpha+0,2 \end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} \beta=0,2\alpha+0,2 \\\alpha=0,3\alpha-0,1(0,2\alpha+0,2)+0,2\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} \beta=0,2\alpha+0,2\\\alpha=0,28\alpha+0,18\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases}\beta=0,2\alpha+0,2\\0,72\alpha=0,18\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} \alpha =0,25\\beta=0,25\end{cases}\end{align*}$$\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = U_n - Y$.
   1. En utilisant la question 2., vérifier que, pour tout entier naturel $n$,  $V_{n+1} = MV_n$
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} V_{n+1}&=U_{n+1}-Y \\
   &=MU_n+R-(MY+R) \\
   &=MU_n+R-MY-R\\
   &=M\left(U_n-Y\right)\\
   &=MV_n\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $V_n = M^nV_0$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $V_1=V_{0+1}=MV_0$.
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $V_n=M^nV_0$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$.
   $V_{n+1}=MV_n=M\times M^nV_0=M^{n+1}V_0$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ strictement positif on a $V_n=M^nV_0$.
   $\quad$
4. On admet que, pour tout entier naturel strictement positif $n$, \[M^n = \begin{pmatrix}2 \times 0,2^n - 0,1^n& 0,1^n - 0,2^n\\ 2 \times 0,2^n - 2 \times 0,1^n & 2 \times 0,1^n - 0,2^n\end{pmatrix}.\]
   1. Déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de l'entier strictement positif $n$.
   On a $V_0=U_0-Y=\begin{pmatrix}0,75\\-0,25\end{pmatrix}$.
   De plus $V_n=U_n-Y \iff U_n=V_n+Y\iff U_n=M^nV_0+Y$
   Par conséquent
   $\begin{align*} a_n&=0,75\left(2\times 0,2^n-0,1^n\right)-0,25\left(0,1^n-0,2^n\right)+0,25 \\
   &=1,75\times 0,2^n-0,1^n+0,25\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
   On a $-1<0,2<1$ et $-1<0,1<1$
   Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,1^n=0$
   Par conséquent $$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,25$.
   $\quad$
   3. On admet que, pour tout entier naturel $n$,  $c_n = 0,5 + 3 \times 0,1^n - 3,5 \times 0,2^n$. La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours peut-elle dépasser $0,5$ ?
   On a :
   $\begin{align*} c_n\leq 0,5 &\iff 0,5+3\times 0,1^n-3,5\times 0,2^n\leq 0,5 \\
   &\iff 3\times 0,1^n\leq 3,5\times 0,2^n \\
   &\iff \left(\dfrac{0,1}{0,2}\right)^n \leq \dfrac{3,5}{n} \\
   &\iff 0,5^n \leq \dfrac{3,5}{3} \\
   &\iff n\ln 0,5 \leq \ln \dfrac{3,5}{3}\\
   &\iff n \geq \dfrac{\ln \dfrac{3,5}{3}}{\ln 0,5} \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln \dfrac{3,5}{3}}{\ln 0,5}<0$.
   Donc pour tout entier naturel $n$ on a $c_n\leq 0,5$.
   La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours ne dépassera jamais $0,5$.
   $\quad$