Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 - Exercice 3

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Exercice 3 6 points

Fonctions et Suites

Partie A : établir une inégalité

Sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = x - \ln(x + 1)$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
2. En déduire que pour tout $x \in [0~;~ +\infty[, \quad \ln(x + 1) \leqslant x$.

 

Partie B : application à l'étude d'une suite

On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
2. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \geqslant 0$.
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \leqslant 1 $.
   3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
3. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$, où $f$ est la fonction définie dans la Partie A . En déduire la valeur de $\ell$.
4. 1. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.