Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On relie les centres de chaque face d'un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme sur la figure ci-dessous.

Plus précisément, les points I, J, K, L, M et N sont les centres respectifs des faces carrées ABCD, BCGF, CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carrés).

1. Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites (IN) et (ML) sont orthogonales.
Les plans $(ABC)$ et $(KLM)$ sont parallèles.
Les droites $(IN)$ et $(AE)$ sont parallèles et la droite $(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
La droite $(IN)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(KLM)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite $(ML)$.
$\quad$


Dans la suite, on considère le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}}~;~\vec{\text{AD}}~;~\vec{\text{AE}}\right) $ dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right) $.

2. 1. Donner les coordonnées des vecteurs $ \vec{\text{NC}} $ et $ \vec{\text{ML}} $.
   On a $N(0,5;0,5;1)$ et $C(1;1;0)$
   Le vecteur $\vec{NC}$ a donc pour coordonnées $(0,5;0,5;-1)$.
   On a $M(0,5;0;0,5)$ et $L(0;0,5;0,5)$
   Le vecteur $\vec{ML}$ a donc pour coordonnées $(-0,5;0,5;0)$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales.
   On a $\vec{NC}.\vec{ML}=-0,25+0,25+0=0$.
   Par conséquent les vecteurs $\vec{NC}$ et $\vec{ML}$ sont orthogonaux et les droites $(NC)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
   $\quad$
   
   3. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI).
   Le vecteur $\vec{ML}$ est donc aux vecteurs $\vec{IN}$ et $\vec{NC}$ qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(NCI)$.
   Une équation cartésienne de ce plan est alors de la forme $-0,5x+0,5y+d=0$.
   Or $C(1;1;0)$ appartient à ce plan.
   Par conséquent $0+0+d=0\iff d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(NCI)$ est donc $-0,5x+0,5y=0$.
   $\quad$
3. 1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (NJM) est : $x - y + z = 1 $.
   >On a :
   $N(0,5;0,5;1)$ donc $0,5-0,5+1=0+1=1\checkmark$
   $M(0,5;0;0,5)$ donc $0,5-0+0,5=1 \checkmark$
   $J(1;0,5;0,5)$ donc $1-0,5+0,5=1+0=1\checkmark$
   Les coordonnées de ces trois points vérifient l’équation $x-y+z=1$.
   Ainsi une équation cartésienne du plan $(NJM)$ est bien $x-y+z=1$.
   $\quad$
   
   2. La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM)? Justifier.
   Un vecteur normal au plan $(NJM)$ est donc $\vec{n}(1;-1;1)$.
   On a $D(0;1;0)$ et $F(1;0;1)$ donc $\vec{DF}(1;-1;1)$
   Ainsi $\vec{n}$ et $\vec{DF}$ sont colinéaires et la droite $(DF)$ est perpendiculaire au plan $(NIM)$.
   $\quad$
   
   3. Montrer que l'intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.
   On veut résoudre le système suivant :
   $\begin{cases} x-y+z=1\\-0,5x+0,5y=0 \end{cases} \iff \begin{cases} x=y\\x-y+z=1\end{cases} \iff \begin{cases} x=y\\z=1\end{cases}$
   L’intersection des deux plans $(NJM)$ et $(NCI)$ est donc la droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1\end{cases} \quad, t\in \mathbb R$.
   Cette droite passe donc par le point de coordonnées $(0;0;1)$ et a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u}(1;1;0)$.
   Le point $N$ appartient à ces deux plans et le point $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
   L’intersection des deux plans est donc la droite $(NE)$.
   $\quad$