Baccalauréat STI2D Antilles Guyane 2013 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

Suites

1. L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera $\left(u_{n}\right)$. $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Entrée} :&\text{ Saisir la valeur de l'entier naturel } n\\ \text{Traitement} :&\text{ Affecter 2 à la variable } u \\ &\text{ Pour } i\text{ variant de 1 à } n \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } 1,5u \text{ à }u \\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie} :& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}$$ Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit $n = 1$, puis $n = 2$ et enfin $n = 3$ ?
   • Pour $n = 1$, l'algorithme affiche $u_{1} = 2 \times 1,5 = 3$.
   • Pour $n = 2$, l'algorithme affiche $u_{2} = 3 \times 1,5 = 4,5$.
   • Pour $n = 3$, l'algorithme affiche $u_{3} = 4,5 \times 1,5 = 6,75$.
2. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,5 u_{n}$.
   1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
   D'après la définition, $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 1,5$ et de premier terme $u_{0} = 2$.
   2. Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression du terme $u_{n}$ en fonction de $n$.
   On sait que pour tout naturel $n$, \: $u_{n} = u_{0}\times q^n = 2 \times 1,5^n$.
3. On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}.\]
   1. Calculer les valeurs des termes $S_{0}$, $S_{1}$ et $S_{2}$.
      • $ = u_{0} = 2$ ;
      • $S_{1} = u_{0} + u_{1} = S_{0}+ u_{1}=2 + 3 = 5$ ;
      • $S_{2} = u_{0} + u_{1} + u_{2} = S_{1}+ u_{2}= 5 + 4,5 = 9,5$.
   2. Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme $S_{n}$ pour un $n$ donné ? Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie.
   $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Entrée} :&\text{ Saisir la valeur de l'entier naturel } n\\ \text{Traitement} :&\text{ Affecter 2 à la variable } u \\ &\text{ Affecter 2 à la variable } S \\ &\text{ Pour } i\text{ variant de 1 à } n \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } 1,5u \text{ à }u \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } S+u \text{ à } S \\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie} :& \text{Afficher } S\\ \hline \end{array}$$
   3. Calculer le terme $S_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.
   $$\begin{array}{ll}S_{n} &= \displaystyle\sum_{k = 0}^n u_{k} \\ &= u_{0} \times\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\\& = 2 \times \dfrac{1 - 1,5^{n+1}}{1 - 1,5} \\&= 2 \times \dfrac{1,5^{n+1} - 1}{1,5 - 1}\\& = 4\left(1,5^{n+1} - 1\right)\\& =S_{n}\\& = 6 \times 1,5^n - 4\end{array}$$
   $S_{n} = 6 \times 1,5^n - 4$
   4. En déduire la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$.
   Comme $1,5 > 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 1,5^n = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_{n} = + \infty$.