Baccalauréat STI2D Antilles Guyane 2013 - Correction Exercice 2

Page 4 sur 8: Correction Exercice 2

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Probabilités

Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique pour la compétition. Le responsable de la qualité cherche à analyser la production. Il mesure pour cela la masse des boules d'un échantillon (E) de 50 pièces de la production concernée, et obtient les résultats suivants pour la série statistique des masses : $$ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\hline \text{ Masse en } g &1195 &1196 &1197 &1198 &1199 &1200 &1201 & 1202 &1203 &1204 \\ \hline \text{ Nombre de boules } &1 &3 &4 &6 &8 &11 &6 &5 &3 &3\\ \hline \end{array}$$ Une boule est dite « de bonne qualité » si sa masse en grammes $m$ vérifie : $1197 \leqslant m \leqslant 1203 $.

1. 1. Calculer, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité.
   Il y a $1 + 3 + 3 = 7$ boules dont la masse n'appartient pas à l'intervalle $[ 1197 ~;~ 1203 ]$.
   Il y a donc $50 - 7 = 43$ boules de « de bonne qualité » sur 50 soit $\dfrac{43}{50} = \dfrac{86}{100} = 0,86 = 86\,\%$.
   Pour l'échantillon (E), il y a $86\,\%$ de boules de bonne qualité
   2. Déterminer la moyenne et l'écart type de la série des masses de cet échantillon. (On donnera des valeurs approchées au gramme près.)
   La moyenne : $\overline{m} = \dfrac{1 \times 1195 + 3 \times 1196 + \ldots 3 \times1204}{50} = 1199,76 \approx 1200$~(g).
   Pour l'écart-type $\sigma$, la calculatrice donne $\sigma \approx 2$.
   Dans la suite de l'exercice, on admet que la probabilité qu'une boule soit de bonne qualité est : $p = 0,86$. Les résultats des différentes probabilités seront donnés au millième près.
2. L'entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix de chaque pièce d'un lot à un tirage avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un lot donné de 50 boules, associe le nombre de boules de bonne qualité.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres $n$ et $p$.

   On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

   • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
   • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

   Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

   2. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.
   • Méthode 1 : Cette probabilité est égale à $p(X = 48) + p(X = 49) + p(X = 50) \approx 0,01723 + 0,00432 + 0,00053 \approx 0,02208 \approx 0,022$.
     Par exemple pour $p(X=48)$:
     

     2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
     Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

     $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   • Méthode 2 : On passe par l'événement contraire : $p(X\geq 48)=1-p(X\leq 47)$
     

      

     2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
     Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

     $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
     
     Donc $p(X\geq 48)=1-p(X\leq 47)\approx 1-0,9779\approx 0,022$
3. On décide d'approcher la loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ par une loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $\sigma$.
   1. Justifier que $m = 43$ et $\sigma \approx 2,45$.
   $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,86$, donc $m = 50 \times 0,86 = 43$ et $\sigma = \sqrt{50 \times 0,86 \times (1 ) 0,86)} = \sqrt{6,02} \approx 2,453 \approx 2,45$.
   2. Déterminer, à l'aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.
4. Le client reçoit un lot de 50 boules.
   1. Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de 50 pièces.

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 $\,\%$ de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de $50$~pièces est égal à : $$I_{50} = \approx [0,764~;~0,956]$$
   2. Dans son lot, le client a 42 boules qui sont de bonne qualité. Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité est trop faible au regard de la production habituelle de l'entreprise. Peut-on donner raison au client au seuil de confiance de 95 $\,\%$ ? Justifier.
   On vérifie que : $n = 50 \quad ; \quad np = 50 \times 0,86 = 43 \quad ; \quad n(1 - p) = 50 \times 0,14 = 7$. Toutes les conditions sont réunies et il y a 42 boules de bonne qualité sur 50 soit une fréquence $f = \dfrac{42}{50} = 0,84$.
   Comme $0,84 \in [0,764~;~0,956]$, on peut dire au seuil de confiance de 95 $\,\%$ que 86$\,\%$ des boules sont de bonne qualité.