Baccalauréat STI2D Antilles Guyane 2013 - Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Probabilités

Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique pour la compétition. Le responsable de la qualité cherche à analyser la production. Il mesure pour cela la masse des boules d'un échantillon (E) de 50 pièces de la production concernée, et obtient les résultats suivants pour la série statistique des masses : $$ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\hline \text{ Masse en } g &1195 &1196 &1197 &1198 &1199 &1200 &1201 & 1202 &1203 &1204 \\ \hline \text{ Nombre de boules } &1 &3 &4 &6 &8 &11 &6 &5 &3 &3\\ \hline \end{array}$$ Une boule est dite « de bonne qualité » si sa masse en grammes $m$ vérifie : $1197 \leqslant m \leqslant 1203 $.

1. 1. Calculer, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité.
   2. Déterminer la moyenne et l'écart type de la série des masses de cet échantillon. (On donnera des valeurs approchées au gramme près.)
   Dans la suite de l'exercice, on admet que la probabilité qu'une boule soit de bonne qualité est : $p = 0,86$. Les résultats des différentes probabilités seront donnés au millième près.
2. L'entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix de chaque pièce d'un lot à un tirage avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un lot donné de 50 boules, associe le nombre de boules de bonne qualité.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres $n$ et $p$.
   2. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.
3. On décide d'approcher la loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ par une loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $\sigma$.
   1. Justifier que $m = 43$ et $\sigma \approx 2,45$.
   2. Déterminer, à l'aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.
4. Le client reçoit un lot de 50 boules.
   1. Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de 50 pièces.
   2. Dans son lot, le client a 42 boules qui sont de bonne qualité. Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité est trop faible au regard de la production habituelle de l'entreprise. Peut-on donner raison au client au seuil de confiance de 95 $\,\%$ ? Justifier.