Baccalauréat STI2D Antilles Guyane 2013 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$. On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. \bigskip

1. On considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : \[(2 - \mathrm{i})z = 2 - 6\mathrm{i}.\]
   1. Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation (E). On notera $z_{1}$ la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique.
   2. Déterminer la forme exponentielle de $z_{1}$.
   3. Soit $z_{2}$ le nombre complexe défini par : $z_{2} = e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{2}} \times z_{1}$. Déterminer les formes exponentielle et algébrique de $z_{2}$.
2. Soit $A$, $B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives : $z_{A} = 2 - 2\mathrm{i}$, $z_{B} = - 2 - 2\mathrm{i}$ et $z_{C} = - 4\mathrm{i}$.
   1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe.
   2. Calculer le produit scalaire $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$.
   3. Déterminer la nature du triangle $ABC$.