Baccalauréat STI2D Métropole Juin 2013 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Probabilités

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée. La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

1. Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités. Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 98 & 0,0000165 \\ \hline 98,5 & 0,00024299 \\ \hline 99 & 0,01002045 \\ \hline \end{array} $$

   $$ \begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 99,5 & 0,12245722 \\ \hline 100 & 0,50000000 \\ \hline 100,5 & 0,87754278 \\ \hline \end{array} $$

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 101 & 0,9899755 \\ \hline 98,5 & 0,99975701 \\ \hline 99 & 0,99999835 \\ \hline \end{array}$$

   Les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près.
   Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.}
   1. Déterminer la probabilité de l'évènement « $X > 99$ » .

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , \1,$10^{99}$$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 > \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    
   2. Déterminer la probabilité de l'évènement « $99 \leqslant X \leqslant 101$ ».

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
   Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
   Notons $C$ :« Le pot est jugé conforme » $C=99\leq X \leq 101$
   On veut calculer $P(\overline{C})=1-P(C)=1-P(99\leq X \leq 101)\approx 1-0,9799\approx 0,02$
   La probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme est environ 0,02.
2. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pots conformes dans la production est 98 $\,\%$.
   1. L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille $n$ est \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\] Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille 120.

   La proportion $p$ est égale à $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à $\2.$
   Comme $ n =\2$ , $n \times p $=\3 et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique ne sont pas sont réunies !

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ mais } n\times (1-p) < 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\% $ est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$

    
   $$I_{120} \approx [0,954, 1.006] $$
   2. On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de 120 pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte 113 pots conformes. En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production?
   On constate que $f =\dfrac{113}{120}\approx 0,941$ n'appartient pas à $[0,954, 1.006]$.
   On en déduit qu'au seuil de décision de 5 $\%$, on rejette l'hypothèse de 98$\%$ de pots conformes dans la production: on prend la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.