Baccalauréat STI2D Métropole Juin 2013 - Exercice 2
Exercice 2 5 points
On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22 h. La température y est alors de 20° C.
Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22h à 7h le lendemain matin.
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 ° C. On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en ° C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;9]$
Partie A :
- Prévoir le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;9]$. On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(t) = 9 e^{-0,12t} + 11$.
- Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.
- Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
- Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15° C.
- Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.
Partie B :
Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0;9]$, \[g(t) = 0,7e^{-0,12t}.\] L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22h et 7h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale \[\mathcal{E} = \int_{0}^9 g(t)\:\mathrm{d}t.\]
- Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée.
- En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$kWh près.
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