Baccalauréat STI2D Métropole Juin 2013 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 6 points

Suites

• La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.
• En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $1900$ km ; sa puissance électrique initiale est de $6400 $MW ; le courant est transporté sous une tension de 800 kV.

Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3$\,\% $ pour une distance de 100kilomètres.

Partie A :

On note $p_{0} = 6400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de 100km.

1. Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$.
$p_1=p_0-0,3\,\% p_0=\left(1-0,003\right)p_0=0,997p_0$
2. Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$km ?
On veut donc calculer $p_2=p_1-0,3\% p_1=0,997p_1=0,997 \times 0,997p_0=0,997^2\times 6400\approx 6361$
La puissance électrique au MW près par défaut restant au bout de 200 km est 6361 MW.
3. Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
$p_{n+1}=p_n-0,3\%p_n=\left (1-0,003\right)p_n=0,997p_n$.
Comme pour tout entier $n$ on a $p_{n+1}=0,997p_n$ :
la suite $(p_n)$ est géométrique de premier terme $p_0=6400$ et de raison $q=0,997$.
D'après le cours $p_n=q^n\times p_0=0,997^n\times 6400$
$p_n= 0,997^n\times 6400$

Partie B :

On considère l'algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{ll} \text{variables} : &\\ & n \text{: un nombre entier naturel}\\ &q \text{ : un nombre réel}\\ & p \text{: un nombre réel}\\ \text{entrée} : &\\ & \hspace{5mm} \text{Saisir } n \\ \ \text{initialisation} :&\\ & \hspace{5mm} \text{Affecter à } p \text{ la valeur 6400}\\ &\text{Affecter à } q \text{ la valeur 0,997}\\ \text{traitement} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Répéter } n \text{ fois}\\ &\hspace{1cm} \text{ Affecter à } p \text{ la valeur} p \times q \\ \text{sortie} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Afficher } p \end{array} $$

1. On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$. Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut). $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n & p & q \\ \hline \text{Entrées et initialisation }& 3 & 0,997& 6400 \\ \hline 1 ^{\text{er}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & \\ \hline 2 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &  \\ \hline 3 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &  \\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n & p & q \\ \hline \text{Entrées et initialisation }& 3 & 0,997& 6400 \\ \hline 1 ^{\text{er}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &6380 \\ \hline 2 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & 6361 \\ \hline 3 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & 6342 \\ \hline \end{array}$$ On obtient $p_3\approx 6342$
La puissance électrique au MW près par défaut restant au bout de 300 km est 6342 MW.
2. Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme.
3. Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$km ?

Partie C :

1. Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ?
$$p_{19}=0,997^{19}\times 6400\approx 6044 \;MW$$
2. D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude. On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7 $\,\%$ sur ces lignes.
   1. La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ?
   La perte de puissance est $100-\dfrac{6044}{6400}\approx 5,6\%$.
   La ligne Xiangjaba -Shangaï répond à cette contrainte !
   2. Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 $\,\%$.
   On cherche le plus grand entier $n$ tel que $1-\dfrac{0,997^n\times 6400}{6400}\leq 0,07$
   $$\begin{array}{lll} 1-\dfrac{0,997^n\times 6400}{6400}\leq 0,07 &\Leftrightarrow 0,997^n \geq 0,93 \;&\\ & \Leftrightarrow \ln \left (0,997^n\right ) \geq \ln(0,93) & \text{ On applique la fonction } \ln \\ &&\text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ :\\ & \Leftrightarrow n\ln \left (0,997 \right ) \geq \ln(0,93)&\\ & \Leftrightarrow n\ln \leq \dfrac{\ln(0,93)}{\ln \left (0,997 \right ) }& \text{ en effet } 0,997 < 1 \text{donc } \ln \left (0,997 \right ) < 0 \\ \end{array}$$ $$\dfrac{\ln(0,93)}{\ln \left (0,997 \right ) }\approx 24,15$$ $n=24$ et donc
   à cent kilomètres près, 2400 km est la longueur maximale d'une ligne pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à $7\%$