Baccalauréat STI2D Métropole Juin 2013 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

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Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

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1. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \mathrm{i}\sqrt{2}$ est :
   1. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $z = 2\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   3. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
   4. $z = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z=\sqrt{6}-i\sqrt{2}$ est:
• Module : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
• Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt 3}{ 2}\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= -\dfrac{\sqrt 2}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{ 2} \end{array} \right.$$
Ainsi $\theta=-\dfrac{\pi}{6}$ convient; on a donc: $$z=[2\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{6}] \text{ ou } z=2\sqrt{2}\left [\cos\left (-\dfrac{\pi}{6}\right )+i\sin\left (-\dfrac{\pi}{6}\right )\right ]=2\sqrt 2e^{-i\frac{ \pi}{6}}$$
2. Si $z_{1} = 3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :
   1. $3\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$
   2. $3 e^{- 2\mathrm{i}\pi}$
   3. $3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
   4. $3e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
Si $z_1=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_2=\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ vaut: $$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}}=3e^{i\dfrac{\pi}{4}+i\frac{5\pi}{6}}=3e^{i\frac{13\pi}{12}}$$
3. On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 4 e^{9x}$
   2. $f(x) = - 0,2 e^{- 9x}$
   3. $f(x) = 7 \cos (9x) - 0,2 \sin (9x)$
   4. $f(x) = 0,7\sin (3x)$
En effet l'équation différentielle $y''+9y=0$ est du type $y''+\omega ^2 y= 0$ où $\omega ^ 2=9$ donc $\omega =3$
La solution générale de cette équation différentielle est $y=A\cos(3x)+B\sin(3x)$. $f(x)=0,7 \sin(3x)$ est de ce type avec $A=0$ et $B=0,7$.
4. On considère l'équation différentielle $y' + 7y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 9e^{7x}$
   2. $f(x) = 9e^{- 7x}$
   3. $f(x)= - 9e^{7x}$
   4. $f(x) = - 9e^{- 7x}$
En effet l'équation différentielle $y'+7y=0$ s'écrit $y'=-7y$ . Elle est du type $y'=ay$ où $a=-7$.
La solution générale de cette équation différentielle est $y=Ce^{-7x}$.
$$f(0)=9\Leftrightarrow C e^{0}=9 \Leftrightarrow C=9.$$ La solution $f$ de cette équation telle que $f(0)=9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$: $f(x)=9e^{-7x}$