Baccalauréat STI2D Polynésie 2013 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de réponse incorrecte ou d'absence de réponse.

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On considère le nombre complexe $z=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

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1. Le carré de $z$ est égal à :
   1. $- 4 \text{i}$
   2. $- 4$
   3. $-2\mathrm{i}$
   4. $4$
$z = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}} $ ainsi $z^2 = \left(2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}} \right)^2 = 4 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} = 4 \times (- \text{i}) = - 4\text{i}$.
Réponse a.
2. L'inverse de $z$ est égal à :
   1. $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
   2. $- 2\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
   3. $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
   4. $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
L'inverse de $z$ est égal à : $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
Réponse d.
3. L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par :
   1. $f(x) = 2 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$
   2. $f(x) = 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$
   3. $f(x) = 4 \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
   4. $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right)$
L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ est du type $y''+ \omega ^2 y = 0$ où $\omega =2$
La solution générale de cettée équation différentielle est donc $$y =A\cos(2x)+B\sin (2x)$$ Or la fonction $f$ définie par $f(x) = 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ est bien de ce type : $$\begin{array}{ll} f(x) &= 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)\\ &= 5\left[\sin(2x) \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+ \cos(2x) \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right]\\ &= \frac{5}{2}\sin(2x)+ \frac{5\sqrt {3}}{2}\cos(2x)\end{array}$$
La réponse est donc b.
4. On observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d'un appareil électroménager jusqu'à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$, suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$. La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8ans est au centième près :
   1. $0, 18$
   2. $0,20$
   3. $0,71$
   4. $0,80$
On a $ p(X \geqslant 8) = 1 - p(X < 8) $ Or $ p(X < 8) = \displaystyle\int_0^8 \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \left[- \text{e}^{- \lambda t} \right]_0^8 = - \text{e}^{- 8\lambda} + 1$ .
Donc $p(X \geqslant 8) = 1 - \left(- \text{e}^{- 8\lambda} + 1 \right) = \text{e}^{- 8\lambda} = \text{e}^{- 8 \times 0,2} = \text{e}^{- 1,6} \approx 0,20$.
Réponse b.