Baccalauréat STI2D Polynésie 2013 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (4 points)

Equations différentielles

La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100° C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20° C. Théo lui rétorque que quand il sera à 37° C il pourra le toucher sans risque ; et sa grand-mère lui répond qu'il lui faudra attendre 30 minutes pour cela. La température du plat est donnée par une fonction $g$ du temps $t$, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle $(E)\quad y' +0,04y = 0,8$.

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $g$ définie par la condition initiale $g(0) = 100$.
On sait que les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions :
$x \longmapsto f(x) = K\text{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$
Ici $(E)\quad y' +0,04y = 0,8$ se met sous la forme $y'=-0,04y + 0,8$ .
Ainsi les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions:
$x \longmapsto f(x) = K\text{e}^{-0,04x} + \dfrac{0,8}{0,04} = K\text{e}^{-0,04x} +  20$, avec $K \in \mathbb R$ quelconque.
La solution $g$ particulière vérifie $g(0) = 100$, soit $K + 20 = 100$ ou $K = 80$. On a donc $g(t) = 80\text{e}^{-0,04t} + 20 = 20 \left(1 + 4\text{e}^{-0,04t}\right)$.
2. En utilisant l'expression de $g(t)$ trouvée :
   1. La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37° C ?
   La température après 30 min est : $g(30) = 20 \left(1 + 4\text{e}^{-0,04 \times 30}\right) = 20 20 \left(1 + 4\text{e}^{-1,2}\right) \approx 44,1$° C.
   La grand-mère a sous-évalué le temps de refroidissement.
   2. Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ? En donner une valeur arrondie à la seconde près.
   Il faut trouver $t$ tel que $g(t) = 37$, soit $20 \left(1 + 4\text{e}^{-0,04t}\right) = 37 \iff 80\text{e}^{-0,04t} = 17 \iff \text{e}^{-0,04t} = \dfrac{17}{80}$, soiten appliquant la fonction logarithme népérien : $- 0,04t = \ln \frac{17}{80} \iff t = - \dfrac{1}{0,04}\ln \frac{17}{80} \approx 38,720$ soit 38 min et $0,72 \times 60 = 43,2$ s.