Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales STI2D 2013.

Baccalauréat STI2D Polynésie 2013 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 7 points


Probabilités

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{- 3}$ près.

Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l'industrie. L'objectif de cet exercice est d'étudier l'exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production.

A : Loi normale

Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [74,4;75,6]. On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,25$.

  1. Calculer $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6)$.

    2. 2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

    $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

     

  2. Quelle valeur doit-on donner à $h$ pour avoir $P(75 - h \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ ?
    3. On sait que pour une une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}(\mu,\:\sigma)$ on a : $P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 1,96\sigma) \approx 0,95$, mais en fait de façon plus précise :
    $P(\mu - 0,96\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95$,
    donc $P(75 - h) \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ pour $h \approx 1,96 \sigma$, soit $h \approx 0,49$
B. Loi binomiale

Les pièces produites par l'entreprise sont livrées par lots de $20$. On note $D$ l'événement : « une pièce prélevée au hasard dans la production n'est pas conforme ». On suppose que $P(D) = 0,02$. On prélève au hasard $20$ pièces dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu'il contient.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02.

    2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

    • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
    • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

    Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

    Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

  2. Calculer la probabilité $P(X = 0)$.
    • A la calculatrice :

       

      2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
      Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

      $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    • Calcul direct :
      On a $P(X = 0) = 0,02^0 \times 0,98^{20} \approx 0,6676 $.
  3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20pièces.
    4. La probabilité cherchée est $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,98^{20} \approx 0,3324 $ à $10^{- 4}$ près.
  4. Calculer l'espérance mathématique, $E(X)$, de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.
    5. On sait que $E(X) = np = 20 \times 0,02 = 0,4$, nombre de pièces défectueuses pour 20 pièces tirées ou ce qui est plus parlant 2 pièces défectueuses pour 100 pièces tirées.
C. Intervalle de fluctuation

Le cahier des charges établit que la proportion de 2$\,\% $de pièces non conformes dans la production est acceptable.

  1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\% $de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80. On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 80 dans lequel 3 pièces se révèlent être non conformes.

    2. La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
    Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 


    on trouve l'intervalle $I_{80}\approx [- 0,010~;~0,050]$
  2. Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé ?
    3. La fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé est égale à $\dfrac{3}{80} = 0,0375$, soit 3,5$\,\%$.
  3. La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.
    4. Comme 0,0375 est bien dans l'intervalle de fluctuation calculé ci-dessus on ne va pas réviser la machine.
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