BAC STI2D NOUVELLE CALÉDONIE MARS 2014

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Exercice 1 4 points

Nombres complexes

  On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: \[z_{1} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.\]

1. Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$.
2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$.
3. Démontrer que $z_{1} \times z_{2} = 2z_{3}$.
4. En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$.
5. En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.