BAC STI2D NOUVELLE CALÉDONIE MARS 2014 - Correction de l'Exercice 4

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Exercice 4 7 points

Fonctions exponentielles

Dans tout l'exercice, on désigne par $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.

On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, dans un repère orthonormé du plan.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A (0 ; 5)$ et par le point $B$ d'abscisse 2.

La tangente $T_A$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C(1 ; 1)$ et la tangente $T_B$ au point $B$ est horizontale.

Partie A

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.

Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point.

On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(0;5)$ donc $f(0)=5$
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. FAUX
   4. VRAI : $f(0)=5$
2. Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $T_A$ à la courbe au point $A(0;5)$ or cette tangente passe également par le point $C(1;1)$ d'où $f'(0)=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}$ . Soit $f'(0)=\dfrac{1-5}{1-0}=-4$
   1. VRAI : $- 4$
   2. FAUX
   3. FAUX
   4. FAUX
3. La tangente $T_B$ à la courbe au point $B$ d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f'(2)=0;$
   1. VRAI : $0$
   2. FAUX
   3. FAUX
   4. FAUX
4. L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$. Or cette aire est visiblement supérieure à 5 unités d'aire. $$5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 7$$
   1. FAUX
   2. VRAI :$5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \;d x \leqslant 7$
   3. FAUX
   4. FAUX

Partie B

La fonction $f$ représentée dans la PARTIE A est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)e^{- x} + 3$.

1. On admet que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est 3. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}~\left(- x^2 - 2x + 2\right)=\lim\limits_{x \to -\infty}~ - x^2 =-\infty\\ \lim\limits_{x \to -\infty}~\text{e}^{- x}=+\infty \end{array}\right\}$ par produit on obtient: $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$
$$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$
2. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on admet que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\mathbb{R}$, $f'(x) = \left(x^2 - 4\right)e^{- x}$.
   1. Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   
   
   • La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb{R}$, on déduit que pour tout réel $x ; \text{e}^{- x}>0$, et ainsi $f'(x)$ a le signe de $x^2-4$
   • $x^2-4$ est un trinôme du second degré qui a pour racines $-2$ et $2$; il a donc le signe de $a=1$ à l'extérieur des racines et celui de $-a$ à l'intérieur.
   
   
   2. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
   
   
3. On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)e^{- x} + 3x$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ ssi pour tout réel $x$ on a $F'(x)=f(x)$.
Ici $F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3x$ est du type $F=u+v$, ainsi $F' =u'+v'$.
où $u(x)= \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x}$ , donc $u=ab$ d'où $u'=a'b+b'a$.
$a(x)= \left(x^2 + 4x + 2\right)$ et $b(x)=\text{e}^{- x}$
Alors $a'(x)= \left(2x+4\right)$ et $b'(x)=-\text{e}^{- x}$
Puis $u'(x)=\left(2x+4\right) \text{e}^{- x}+ \left(-\text{e}^{- x}\right)\left(x^2 + 4x + 2\right)=\text{e}^{- x}\left(2x+4 -x^2 - 4x - 2\right)=\text{e}^{- x}\left( -x^2 - 2x+ 2\right)$
et $v'(x)=3$, et donc $F'(x)=u'(x)+v'(x)=\text{e}^{- x}\left( -x^2 - 2x+ 2\right)+3=f(x)$

$F'(x)=f(x)$, et donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
   1. Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
   Sur l'intervalle $[0;2]$ la fonction $f$ est strictement décroissante et $f(2)=3-6\text{e}^{-2} \approx 2,19$ donc $f$ est positive sur l'intervalle $[0;2]$. Par conséquent, l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ est égale à l'intégrale de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;2]$ :   $$\begin{array}{ll} \mathcal{A}&= \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x&\\ & = \left [ F(x)\right ]_{0}^2 &\\ & = \left [ \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3x\right ]_{0}^2 &\\ & = 14\text{e}^{-2} + 6-2 \\ & =14\text{e}^{-2} +4 &\\ \end{array}$$
   L'aire du domaine $\mathcal{D}$ est égale à $14\text{e}^{-2} +4$ unités d'aire.
   2. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième.
   
   
   $\mathcal{A}\approx 5,89$ unités d'aire à $10^{-2}$ près.