BAC STI2D NOUVELLE CALÉDONIE MARS 2014 - Correction de l'Exercice 2

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Exercice 2 4 points

Probabilités

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92  % des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes.

Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95  % de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.
   
   

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   Soit en arrondissant à 10$^{-2 }$près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100 est $I=[0,870,97]$.
   2. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
   
   La fréquence observée des plantes résistantes dans l'échantillon est $f=\dfrac{88}{100}=0,88$
   La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, donc l'hypothèse selon laquelle 92 % des sachets sont efficaces n'est pas remise en cause.
2. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes.
   On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$.
   1. Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à 0,01 près).
   
   La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,92$ donc :
   $$E(X)=n\times p=100 \times 0,92=92  \text{ et  } \sigma(X)=\sqrt{n\times p \times q }= \sqrt{100 \times 0,92 \times 0,08}\approx 2,71$$
   2. La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7.
      En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94,
      c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.
   
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$