Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

1. 1. Un arbre pondéré représentant la situation :
      
   2. On veut calculer $p\left (H_3\cap C\right )=p\left (H_3 \right )\times p_{H_3}\left (C\right )=0,40\times 0,50=0,20$
      $p\left (H_3\cap C\right )=0,20$
   3. Calculons la probabilité de l'événement $C$.
      $C=\left (H_1\cap C \right )\cup \left (H_2\cap C \right )\left (H_3\cap C \right )$.
      La formule des probabilités totales donne
      $$p\left (H_1\cap C \right )+p \left (H_2\cap C \right )+p\left (H_3\cap C \right )=p(H_1)\times p_{H_1}(C)+p(H_2) \times p_{H_2}(C)+p(H_3)\times p_{H_3}(C)$$
      soit $p(C)= 0,35\times 0,80+ 0,25\times 0,50+ 0,40\times 0,30=0,525$
      $p(C)=0,525$
   4. On veut calculer la probabilité de l'événement &\laquo;  L'arbre a été acheté chez $H_1$ sachant que c'est un conifère&\raquo; .
      soit à calculer la probabilité conditionnelle $p_{C}\left (H_1\right )=\dfrac{p\left (H_1\cap C\right )}{p(C)}=\dfrac{0,35\times 0,80}{0,525}$
      
      $p_{C}\left (H_1\right )\approx 0,533$
2. 1. On est en présence d'un schéma de Bernoulli: Succès : &\laquo;  l'arbre choisi au hasard est un conifère &\raquo;  avec la probabilité $p=0,525 $
      Echec : &\laquo;  l'arbre choisi au hasard est un arbre à feuilles&\raquo;  avec la probabilité $q=1-p= 0,475$
      On répète 10 fois cette expérience de façon indépendante et on considère la variable aléatoire $X$ qui comptabilise le nombre de succès .
      $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left (10;0,525\right )$ de paramètres $n=10$ et $p=0,525$
   2. Calculons la probabilité que l'échantillon prélevé contienne exactement 5 conifères et donnons-en une valeur approchée à $10^{-3}$, près.
      Pour tout entier $k \in[0;10]$; on a : $$p(X=k)=\binom{10}{k}\times 0,525^k\times0,475^{10-k}.$$ On veut $p(X=5) \binom{10}{5}\times 0,525^5\times0,475^5.$
      $p(X=5)\approx 0,243$
   
   
   3. Calculons la probabilité que l'échantillon prélevé contienne au moins deux arbres feuillus et donnons-en une valeur approchée à $10^{-3}$, près.
      On veut calculer ici la probabilité de l'événement $X\leq 8$
      $p(X \leq 8)=1-p(X>8)=1-p(X=9)-p(X=10)=1-\binom{10}{9}\times 0,525^9\times0,475^1-\binom{10}{10}\times 0,525^10 \approx 0,984 $
      
      
      La probabilité que l'échantillon prélevé contienne au moins deux arbres feuillus est environ $0,984$ à $10^{-3}$, près. 
      Remarque :$P(X\leq 8)$ peut s'obtenir avec la calculatrice par :$binomFR\text{é}p(10,0.525,8)$